FFT推導過程

全部考試總算考完了，因而我被L^AJ_i學校坑去生產線QAQ

趁着腦殼還記得先馬一下（距離遺忘DSP全部內容還有30min

已知\(X[m]=\sum_{k=0}^{N-1}x[k]W_{N}^{km},m=0,1,...N-1\)

那麼\(X[m]=\sum_{k=0}^{N-1}[k==2r]x[k]W_{N}^{km}+\sum_{k=0}^{N-1}[k==2r+1]x[k]W_{N}^{km}\)

\(X[m]=\sum_{r=0}^{N/2-1}x[2r]W_{N}^{2rm}+\sum_{r=0}^{N/2-1}x[2r+1]W_{N}^{(2r+1)m}\)

\(=\sum_{r=0}^{N/2-1}x[2r]W_{N}^{2rm}+W_{N}^{m}\sum_{r=0}^{N/2-1}x[2r+1]W_{N}^{2rm}\)

\(=\sum_{r=0}^{N/2-1}x_1[r]W_{N}^{2rm}+W_{N}^{m}\sum_{r=0}^{N/2-1}x_2[r]W_{N}^{2rm}\)

由可約,\(=\sum_{r=0}^{N/2-1}x_1[r]W_{N/2}^{rm}+W_{N}^{m}\sum_{r=0}^{N/2-1}x_2[r]W_{N/2}^{rm}\)

\(X[m]=X_1[m]+X_2[m]\)

由週期,\(X_1[m+N/2]=X_1[m]\),\(X_2[m+N/2]=X_2[m]\)
由對稱,$ W_{N}^{m+N/2}=-W_{N)^{m} $

可獲得另外一邊
\(X[m+N/2]=X_1[m+N/2]+W_{N}^{m+N/2}X_2[m+N/2]=X_1[m]-W_{N}^{m}X_2[m]\)

對比一下
\(X[m]=X_1[m]+W_{N}^{m}X_2[m]\)
\(X[m+N/2]=X_1[m]-W_{N}^{m}X_2[m]\)

複雜度
\(T(n) = 2T(n/2)+O(n)\)

FFT流程圖要點
1.過程我以爲按照自底向上的寫法比較好
2.原輸入順序是經過二進制的翻轉(不是反)來確認的

原本考試前畫了一張挺漂亮的圖但找不到了..
換了一張靈魂做圖