1.9 線性變換的矩陣（第1章線性代數中的線性方程組）

時間 2020-12-29

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內容概述

本節首先指出了線性變換和矩陣變換的等價性，並介紹了用矩陣來描述線性變換的方法；接着，舉了幾個二維空間線性變換的幾何特性；最後，從線性變換的角度討論瞭解的存在性和唯一性問題，並和之前的概念進行了關聯。

$\mathbb R^n$ 到 $\mathbb R^m$ 的線性變換和矩陣變換的關係

下面的討論指出，

從 $\mathbb R^n$ 到 $\mathbb R^m$ 的每一個線性變換實際上都是一個矩陣變換 $\boldsymbol x \rightarrow A\boldsymbol x$ ，
變換 $\boldsymbol T$ 的重要性質都歸結爲 $\boldsymbol A$ 的性質。
尋找矩陣 $A$ 的關鍵是瞭解 $\boldsymbol T$ 完全由它對 $n \times n$ 單位矩陣 $I_n$ 的各列的作用所決定。
例：

$I_n = \begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix}$ 的兩列是 $\boldsymbol e_1 = \begin{bmatrix}1 \\ 0\end{bmatrix}$ 和 $\boldsymbol e_1 = \begin{bmatrix}0 \\ 1\end{bmatrix}$ ，設 $\boldsymbol T$ 是 $\mathbb R^2$ 到 $\mathbb R^3$ 的線性變換，滿足：
$\boldsymbol T(\boldsymbol e_1) = \begin{bmatrix}5 \\ 7 \\ -2\end{bmatrix}, \boldsymbol T(\boldsymbol e_2) = \begin{bmatrix}-3 \\ 8 \\ 0\end{bmatrix}$
在此條件下求出 $\mathbb R^2$ 中任意向量 $\boldsymbol x$ 的像的公式。

解：

對於 $\mathbb R^2$ 中的任意向量 $\boldsymbol x$ ，有：
$\boldsymbol x = \begin{bmatrix}x_1 \\ x_2\end{bmatrix} = x_1\begin{bmatrix}1 \\ 0\end{bmatrix} + x_2\begin{bmatrix}0 \\1\end{bmatrix} = x_1\boldsymbol e_1 + x_2\boldsymbol e_2$
因爲 $\boldsymbol T$ 是線性變換，所以有：
$\boldsymbol T(\boldsymbol x)=x_1\boldsymbol T(\boldsymbol e_1)+x_2\boldsymbol T(e_2)=x_1\begin{bmatrix}5 \\ 7 \\-2\end{bmatrix} + x_2\begin{bmatrix}-3 \\ 8 \\0\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}5x_1-3x_2 \\ 7x_1+8x_2 \\-2x_1 + 0\end{bmatrix}$
如果把上述 $\boldsymbol T(\boldsymbol e_1)$ 和 $\boldsymbol T(\boldsymbol e_2)$ 作爲矩陣的列，把上式寫成向量相乘的形式，那麼可以得到下面的公式：
$\boldsymbol T(\boldsymbol x) = [\boldsymbol T(\boldsymbol e_1)\quad \boldsymbol T(\boldsymbol e_2)]\begin{bmatrix}x_1 \\ x_2\end{bmatrix} = A\boldsymbol x$
上面舉的例子是一個感性認識，下面是定理和證明：
定理：
設 $\boldsymbol T:\mathbb R^n \rightarrow \mathbb R^m$ 爲線性變換，則存在唯一的矩陣 $A$ ，使得對 $\mathbb R^n$ 中一切 $\boldsymbol x$ ，
$\boldsymbol T(\boldsymbol x) = A\boldsymbol x$
事實上， $A$ 是 $m \times n$ 矩陣，它的第 $j$ 列是向量 $\boldsymbol T(\boldsymbol e_j)$ ，其中 $\boldsymbol e_j$ 是 $\mathbb R^n$ 中單位矩陣 $\boldsymbol I_n$ 的第 $j$ 列：
$A = [\boldsymbol T(\boldsymbol e_1)\quad \cdots \quad \boldsymbol T(\boldsymbol e_n)]$

證明：

記 $\boldsymbol x = \boldsymbol I_n\boldsymbol x = [\boldsymbol e_1 \quad \cdots \quad \boldsymbol e_n]\boldsymbol x = x_1\boldsymbol e_1 + \cdots +x_n\boldsymbol e_n$ ，由於 $\boldsymbol T$ 是線性變換，知：
$\boldsymbol T(\boldsymbol x)=\boldsymbol T(x_1\boldsymbol e_1 + \cdots + x_n\boldsymbol e_n) = x_1\boldsymbol T(\boldsymbol e_1) + \cdots + x_n\boldsymbol T(\boldsymbol e_n) = [\boldsymbol T(\boldsymbol e_1) \quad \cdots \quad \boldsymbol T(\boldsymbol e_n)]\begin{bmatrix}x_1 \\ ...\\ x_n\end{bmatrix} = A\boldsymbol x$
矩陣 $A$ 稱爲線性變換 $\boldsymbol T$ 的標準矩陣。
上述討論表明了：由 $\mathbb R^n$ 到 $\mathbb R^m$ 的每個線性變換都可看作矩陣變換，反之亦然。並且：

線性變換強調映射的性質
矩陣變換描述該映射的具體實現

例：

設 $\boldsymbol T: \mathbb R^2 \rightarrow \mathbb R^2$ 爲把 $\mathbb R^2$ 中每一個點繞原點逆時針旋轉正角度 $\varphi$ 的變換。求出這個變換的標準矩陣。

解：

$\begin{bmatrix}1 \\ 0 \end{bmatrix}$ 變換爲 $\begin{bmatrix}\cos \varphi \\ \sin \varphi \end{bmatrix}$ [cosue">T的標準矩陣。
上述討論表明了：由 $\mathbb R^n$ 到 $\mathbb R^m$ 的每個線性變換都可看作矩陣變換，反之亦然。並且：

線性變換強調映射的性質
矩陣變換描述該映射的具體實現

例：

設 $\boldsymbol T: \mathbb R^2 \rightarrow \mathbb R^2$ 爲把 $\mathbb R^2$ 中每一個點繞原點逆時針旋轉正角度 $\varphi$ 的變換。求出這個變換的標準矩陣。

解：

$\begin{bmatrix}1 \\ 0 \end{bmatrix}$ 變換爲 $\begin{bmatrix}\cos \varphi \\ \sin \varphi \end{bmatrix}$ ， $\begin{bmatrix}0 \\ 1\end{bmatrix}$ 變換爲 $\begin{bmatrix}-\sin \varphi \\ \cos \varphi \end{bmatrix}$ ，由上述定理可知：
$A = [\begin{matrix} \cos φ right: 0.05em;"> \end{matrix}$ m 的每個線性變換都可看作矩陣變換，反之亦然。並且：

線性變換強調映射的性質
矩陣變換描述該映射的具體實現

例：

設 $\boldsymbol T: \mathbb R^2 \rightarrow \mathbb R^2$ 爲把 $\mathbb R^2$ 中每一個點繞原點逆時針旋轉正角度 $\varphi$ 的變換。求出這個變換的標準矩陣。

解：

$\begin{bmatrix}1 \\ 0 \end{bmatrix}$ 變換爲 $\begin{bmatrix}\cos \varphi \\ \sin \varphi \end{bmatrix}$ ， $\begin{bmatrix}0 \\ 1\end{bmatrix}$ 變換爲 $\begin{bmatrix}-\sin \varphi \\ \cos \varphi \end{bmatrix}$ ，由上述定理可知：
$A = [\begin{matrix} \cos φ & - \sin φ \\ \sin φ & \cos φ "> \end{matrix}$ 2 爲把 $\mathbb R^2$ 中每一個點繞原點逆時針旋轉正角度<