排序算法之歸併排序

這裏是傳送門⇒總結：關於排序算法

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	平均時間複雜度	最優時間複雜度	最差時間複雜度	空間複雜度	穩定性
二路歸併排序	O(nlogn)	O(nlogn)	O(nlogn)	O(n)	穩定

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歸併排序採用分治策略，先劃分，再合併。若排序中每次合併的時候是2個有序子序列合併，稱「二路歸併排序」。這裏討論的就是「二路歸併排序」的遞歸作法（好像遞歸可能爆棧，若是能夠，建議研究下非遞歸作法）

• 算法描述
  • 將待排序列分紅2部分，分別使2個子序列有序，以後把2個有序子序列合併成更大的有序序列
  • 而使2個子序列有序的方法是把子序列再分紅2部分，再分別使2個子序列有序，再合併
  • 而使2個子序列...
  • 直到子序列只有1個元素
• 合併的具體實現
  • 設置2個指針分別從左到右掃描2個有序子序列，依次尋找2個子序列較小元素放入temp數組，用temp中合併排序好的子序列替換原數組array中沒排序好的原子序列
• JS實現

// 此處傳入的array會被直接改變
function Merge(array, left, mid, right) {
    var i = left;
    var j = mid + 1;
    var k = 0;
    var temp = [];
    while (i <= mid && j <= right) {
        if (array[i] <= array[j]) {
            temp[k++] = array[i++];
        } else {
            temp[k++] = array[j++];
        }
    }
    while (i <= mid) {
        temp[k++] = array[i++];
    }
    while (j <= right) {
        temp[k++] = array[j++];
    }
    while (k > 0) {
        array[--j] = temp[--k];
    }
}

// 此處傳入的array會被直接改變
function MergeSort(array, left, right) {
    if (left < right) {
        var mid = Math.floor((left + right) / 2);
        MergeSort(array, left, mid);
        MergeSort(array, mid + 1, right);
        Merge(array, left, mid, right);
    }
}

• 分析
  • 歸併排序過程當中，須要不斷對當前序列進行對半劃分，直到子序列長度爲1，也就是說每一次劃分後序列長度都爲本來的1/2。這意味着須要劃分log₂n次（由n/2^k = 1計算可得次數k）
  • 每一次劃分以後都會進行合併操做，每一次劃分後的合併操做會將長度爲n的待排序列遍歷一遍。過程以下：在第1次劃分中，出現2個長度爲n/2的子序列，須要合併1次，每次遍歷n個數據；在第2次劃分中，出現4個長度爲n/4的子序列，須要合併2次，每次遍歷n/2個數據；...當第log₂n次劃分中，出現n個長度爲1的子序列，須要合併n/2次，每次遍歷2個數據。經過這個過程能夠知道每一層（劃分+合併）的時間複雜度爲O(n)
  • 每一層的時間複雜度爲O(n)，結合上面分析的劃分次數爲log₂n，能夠獲得歸併排序的時間複雜度爲O(nlogn)
  • 在歸併排序的Merge函數中，合併2個子序列時，須要藉助額外的存儲空間。每次合併過程當中都須要申請額外的內存空間，可是合併完成後，臨時開闢的內存空間就被釋放掉了，在任意時刻，只會有一個Merge函數在執行，也就只會有一個臨時的內存空間在使用。臨時空間再大也不會超過n個數據的大小，因此空間複雜度是O(n)
  • 因爲在合併時，若是有兩個相同的元素，是先把左邊子序列中的元素放進temp，再放右邊子序列的相同元素，因此兩個相同元素的相對位置不變，即歸併排序是穩定的