作小偷也要會動態規劃——輕鬆解決"01揹包問題"

前言

小偷不可怕，就怕小偷有文化，更怕小偷學過動態規劃。

正文

白玉湯曾是江湖上赫赫有名的盜聖，奈何歲月不饒人，上了年紀後腿腳便不利索了，無奈一身的本領卻沒有個傳承之人。這天，一位少年前來拜師學藝，但願白玉湯能在偷盜一事上指點一二。白玉湯見這少年骨骼清奇，心裏有收其爲徒的想法，便出了下面這道題考考少年：

話說地主金館長家有個專門藏金銀財寶的房間，潛入後發現可偷之物太多，奈何自身負重能力有限，你的包只能承重20kg的物品，並且每一個物品的價值又都不同，那麼問題來了，將哪些物品裝入揹包才能不枉此行，使價值總和最大呢？物品重量和其價值的關係以下：

編號	重量（w）	價值（v）
1	2	3
2	3	4
3	4	5
4	5	8
5	9	10

少年一看，這不就是一道「01揹包問題嗎」，說完便在地上作出了以下分析：

設咱們的揹包裏面的物品價值爲b，給揹包添加兩個參數：k和c，即b(k,c),那麼b(k,c)又表示什麼什麼意思呢？

k表示你面對的物品編號，即1~5, c表示你面對k號物品時，揹包的剩餘容量 b(k,c)表示面對k號物品，並做出拿或不拿的選擇以後，揹包裏面的物品總價值

舉個例子，b(2,20)表示的是，在你的揹包容量爲20的狀況下，當你面對2號物品時並做出拿或者不拿的選擇後，揹包中物品的總價值。

瞭解了這個概念後咱們繼續： 假設你如今碰見了第k號物品，此時你的揹包容量爲c，你得作出一個決策，到底要不要拿走第k件物品呢？那麼拿不拿的前提是啥？固然是這個物品重不重，能不能塞到包裏。因此第一種狀況就出現了：

1. 若是第k件物品的重量w[k]比此時的揹包的剩餘重量c大了，那我確定是拿不動了，即w[k]>c。因此此時包中物品的價值就是我拿的前一個物品以後包中的價值，即 b(k,c)=b(k-1,c).包中剩餘空間不變，仍是c。

那麼第二種狀況，若是我拿得動第k件物品，即第k件物品的重量w[k]<c，面對k號物品，無外乎兩種選擇，拿或者不拿，這時我就要根據拿走以後產生的效益進行決策了：

1. 不拿k號物品，那麼此時包中物品的總價值b(k,c)=b(k-1,c)，和第一種拿不動k號物品的同樣。
2. 拿走k號物品，那麼此時包中物品的總價值b(k,c)=b(k-1,c-w[k])+v[k]拿了第k件物品後，那個人包中的價值確定就是原先的價值再加上第k件物品的價值，並且拿了以後包中的剩餘容量就爲c-w[k]了。 總結一下，就是以下的公式了：b(k,c)=max{b(k-1,c),b(k-1,c-w[k])+v[k]}

剩下的只須要比較小這兩種方式誰的效益大便可。思惟導圖以下：

看懂以上描述後，編碼就很簡單了，這裏我用Java寫出來

class Main {
    public static void main(String[] args) {
        int[] w = { 0, 2, 3, 4, 5, 9 };
        int[] v = { 0, 3, 4, 5, 8, 10 };
        int N = 6, W = 21;
        int[][] b = new int[N][W];
        for (int k = 1; k < N; k++) {
            for (int c = 1; c < W; c++) {
                if (w[k] > c) {
                    b[k][c] = b[k - 1][c];
                } else {
                    int value1 = b[k - 1][c - w[k]] + v[k]; // 拿第k件物品
                    int value2 = b[k - 1][c]; // 不拿第k件物品
                    b[k][c] = Math.max(value1, value2);
                }
            }
        }
        System.out.println(b[5][20]);
    }
}
複製代碼

結果爲26

最後

其實公衆號以前有發過一篇相似的「01揹包問題」的解析——《使用動態規劃解決童年難題》，網上大多數的博客在解析「01揹包問題」時也都是採用畫圖的形式，相似於這樣的：

可是我當時看的時候真的是一臉懵逼，而後再帶着圖去看長篇的解析就更混亂了。但願你能在理解了上述流程以後，再回過頭去看公衆號以前的文章，對那個圖的理解應該就會更加深入了，兩者一塊兒看，輔助理解。

推薦

1. 推薦一個良心視頻，講解的也很詳細——01揹包問題
2. 推薦一個在線查看解決「01揹包問題」的網站，詳細的描述了變化過程Online 0/1 Knapsack problem solver

   

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