由斐波納契數列衍生出來的斐波納契數列

斐波納契（Fibonacci）數列:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21…

以0和1開始，而且後面的每一個斐波納契數是前兩個斐波納契數之和。

斐波納契數列能夠遞歸定義：

Fibonacci（0）= 0

Fibonacci（1）= 1

Fibonacci（n）= Fibonacci(n-1) + Fibonacci(n-2)

使用遞歸算法的Java代碼以下：

public long fibonacci(long n)

{

if(n==0||n==1)

   return n;

else

  return fibonacci(n-1) + fibonacci(n-2)；

}

在這裏有個有趣的問題：

假如計算fibonacci(3)時，會產生2個遞歸調用; fibonacci(2)和fibonacci(1)以下圖：

進行簡化以下：

從上圖中能夠清楚的看到使用遞歸算法計算fibonacci（3）一共進行了5次遞歸調用；

那麼計算fibonacci（20）、fibonacci（30）、…又要遞歸多少次呢？

假如計算fibonacci（31）須要調用4356617次，計算fibonacci（32）須要7049155次，能夠看出遞歸計算斐波那契數列，對函數的調用是爆炸式的，相鄰的第31和32個斐波那契數就增加了664080次。

n	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
fibonacci（n）	0	1	1	2	3	5	8	13	21	34

那麼再列出fibonacci(4)的圖

一共調用5+3+1=9次

n	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
fibonacci（n）	0 1	1 0	1 2	2 3	3 6	5 19	8 17	13 28	21 46	34 75
次數count(n)	1	1	3	5	9	15	25	41	67	109

紅色字體爲調用次數與計算fibonacci（n）的值之差。

能夠獲得差值和調用次數分別遵循以下斐波那契函數：

差值：

Difference (0) = 1

Difference (1) = 0

Difference (n) = Difference (n-1) +  Difference (n-2) + 1

調用次數;

Count (0) = 1

Count (1) = 1

Count (n) = Count (n-1) +  Count (n-2) + 1