Floyd雜記

最小環

分有向圖和無向圖。

有向圖很簡單：直接建邊而後跑\(Floyd\)，跑完之後，\(dis(i,i)\)就是通過\(i\)點的最小環的長度。

無向圖……就是在以\(k\)爲中間點擴展以前就把\(k\)拿進去統計

像這樣：

for(int k=1;k<=n;k++)
{
    for(int i=1;i<k;i++)
        for(int j=i+1;j<k;j++)
            minr=std::min( minr,dis[i][j]+e[i][k]+e[j][k] );
    
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=n;j++)
            dis[i][j]=std::min( dis[i][j],dis[i][k]+dis[k][j] );
}

---

矩陣

這個挺有意思。

有這樣一個問題：求\(S\)到\(T\)通過\(k\)條邊的最短路。

若是\(N\)可以接受\(O(n^3)\)的算法，那麼\(Floyd\)就派上用場了。

若是\(A\)矩陣和\(B\)矩陣分別表示通過\(x\)條邊和\(y\)條邊的矩陣，那麼新的矩陣\(C=A\times B\)就是通過\(x+y\)條邊的矩陣。

JZ res;

for(int i=1;i<=idx_cnt;i++)
    for(int s=1;s<=idx_cnt;s++)
        for(int t=1;t<=idx_cnt;t++)
            res.a[s][t]=std::min( res.a[s][t],a[s][i]+op.a[i][t] );

return res;

和普通的\(Floyd\)算法不一樣的是，在這裏，等式兩邊的矩陣是相互獨立的。也就是說，\(C\)矩陣中的\(dis\)不會對\(A\)和\(B\)當中的產生影響，因此\(C\)矩陣是切切實實只表示\(x+y\)條邊的矩陣。

而\(Floyd\)算法中，用\(1\)條邊的信息統計完\(2\)條邊的信息以後，\(2\)條邊的信息又要立刻在\(dis\)數組裏面用來統計\(3\)條、\(4\)條邊的信息，因此不是獨立的。

知道具體含義以後就能夠用矩陣快速冪了:-)