二項分佈的方差

在學校的課本上看到二項分佈的方差，據說上課也沒講，那麼本身瞎證一下。

 

已知：

$$X \sim B(n, p)$$

求證：

$$D(X) = n p (1 - p)$$

 

隨機變量 $X$ 的機率生成函數爲

$$F(x) = \sum_i P(X = i) x ^ i = \sum_i \binom{n}{i} p ^ i (1 - p) ^ {n - i} x ^ i = {(1 - p + px)} ^ n$$

推一下能夠發現

$$D(X) = F''(1) + F'(1) - F'(1) ^ 2$$

$$F'(x) = np (1 - p + px) ^ {n - 1}$$

$$F''(x) = n(n - 1)p ^ 2 (1 - p + px) ^ {n - 2}$$

代入得

$$D(X) = n (n - 1) pp + np - nnpp = np - npp = np(1 - p)$$

 

特殊化到 $X \sim B(1, p)$ ，

$$D(X) = p (1 - p)$$

與兩點分佈的結論吻合。