[學習筆記]笛卡爾樹

笛卡爾樹Cartesian Tree

前言

符合：祖先權值優先級更高，中序遍歷是序列自己

類比treap，只不過不平衡

 

既然不如treap平衡，支持操做就少了。

那麼支持的操做，複雜度必需要更優了。

 

建樹

增量法

i=1~n

用單調棧維護最右邊路徑上的點

加入i點，從底向上找到第一個能放的位置，放上去，從棧中彈出的鏈就是左兒子。

中序遍歷性質顯然能夠保證

權值優先級顯然能夠保證

O(n)

（因此Treap也能夠O(n)建樹）

 

例題：

求最大矩形

 

1.單調棧直接作。

2.創建小根堆笛卡爾樹，每一個點的貢獻是：子樹sz*高度。正確性顯然

 

例題2：

 bzoj2616: SPOJ PERIODNI——笛卡爾樹+DP

 

例題3：

• 對於任意排列，定義其權值爲：
• 首先求出排列的笛卡爾樹
• 對於樹上有兩個兒子的節點，設兒子的下標位置爲 𝑎 和 𝑏
• 版本一：其對權值的貢獻爲 |pa-pb|
• 版本二：其對權值的貢獻爲 |𝑎 − 𝑏|
• 假設排列等機率隨機，求權值的指望
• 𝑛 ≤ 100

兩種不一樣的思路：

版本一：

 

關心兒子位置，

f[i][j]大小爲i的樹，根節點在j位置權值

枚舉左兒子和右兒子的位置a,b，再分配編號：C(i-1,a)

能夠把f[i][a]+a之類放在一塊兒進行前綴和優化

純粹從計數考慮，還要維護方案數

 

個數從小到大擴展，位置合併並分配編號

還有相對設法

 

版本二：

權值絕對值要去掉，從小到大加入

大的樹就是放到葉子了

拼接的時候貢獻還要考慮父親權值很差處理

若是有些點必然會有葉子，那麼放下一個權值以前，這些位置直接貢獻cnt的答案

相似放書那個題

f[i][j][k]放了前i個數，有j個位置還少兩個葉子，k個位置還少一個葉子（對將來承諾！）

 

合併

%%immortalCO

數據結構雜題集第三個有提到

定義關鍵點：一個樹最左邊和最右邊兩個鏈

關鍵點只有初始的O(n)個

合併x,y時候，對於x的右鏈和y的左鏈，從最底下開始往上找到第一個能放的位置，這一段長度設爲len

以後這段關鍵點會被覆蓋住，再也不存在。

而後y的這個點左兒子和x的這個點的右兒子進行相似fhq的合併，也就是通常的暴力合併

因爲路徑上的點就是兩個段的關鍵點

關鍵點而後就消失了。

走的長度就是關鍵點減小的個數

因此均攤O(n)

從最底下開始找，能夠用鏈表而後鏈表合併。單純記錄每一個點最右邊的點也能夠

sz什麼的pushup就找到了。

（pushup這個不太好找到，最開始一段鏈很難搞。能夠用LCT同時和笛卡爾樹合併作，用於打上標記）

挺trick的

 

感悟

具備「treap」的兩個性質

對於須要支持操做比較簡單的題目，尤爲對於序列上有關大小的問題，笛卡爾樹的優秀結構可使得處理有計可施