Han Xin and His Troops（擴展中國剩餘定理 Python版）

Han Xin and His Troops（擴展中國剩餘定理 Python版）

題目來源：2019牛客暑期多校訓練營（第十場）

D - Han Xin and His Troops

題意：

  看標題就知道大概了，韓信點兵的典故咱們應該都熟悉吧。   給出 $n$ 個同餘方程，問是否存在不超過 $m$ 的正整數解。
 

坑點：

  數據比較大，直接用 CRT 會爆 ll，這時候就用 Python 來實現。  

AC代碼：

n = 110         # 同餘方程個數
a = [0]*110     # 餘數
m = [0]*110     # 模數


"""擴展歐幾里得"""
def exgcd(a, b):
    if 0 == b:
        return 1, 0, a
    x, y, q = exgcd(b, a % b)
    x, y = y, (x - a // b * y)
    return x, y, q
 

"""擴展中國剩餘定理"""
def CRT():
    if n == 1 :
        if m[0] > a[0]:
            return a[0];
        else:
            return -1;
     
    for i in range(n):
        if m[i] <= a[i] :
            return -1;

        x, y, d = exgcd(m[0], m[i])
        if (a[i] - a[0]) % d != 0:
            return -1;    
            
        t = m[i] // d;
        x = (a[i] - a[0]) // d * x % t
        a[0] = x * m[0] + a[0];
        m[0] = m[0] * m[i] // d;
        a[0] = (a[0] % m[0] + m[0]) % m[0]
 
    return a[0];


n, k = map(int, input().split())
 
for i in range(n):
    m[i], a[i] = map(int, input().split())
 
ans = CRT()
if ans==-1:
    print("he was definitely lying")
elif ans<=k:
    print(ans)
else :
    print("he was probably lying")

   

PS：擴展中國剩餘定理彷佛與中國剩餘定理（CRT）關係不大，如下給出推導過程。   對於一組同餘方程 $$ \begin{cases} {x} \equiv {a_1} \text{ mod } {m_1}\ {x} \equiv {a_2} \text{ mod } {m_2}\ \dots\\ {x} \equiv {a_n} \text{ mod } {m_n}\ \end{cases}$$

咱們經過依次合併兩組方程獲得新的同餘方程，這樣通過 $n-1$ 次操做後，就能獲得方程組的解。

首先對於前兩組方程有： $$ {x = a_1 + k_1m_1}\ {x= a_2 + k_2m_2}$$ 可得 $${k_1m_1 - k_2m_2 = a_2-a_1}$$ 由擴展歐幾里得，咱們能夠獲得下面方程的解 ${x_0, y_0}$ $$ {x_0m_1 - y_0m_2 = (m_1, m_2)}$$ 設 ${d = (m_1, m_2)}$ 當且僅當 ${(a_2-a_1)} \text{ mod } {d = 0}$，方程有解。

因此 $$ {x_0\frac{ a_2-a_1}{d}m_1 - y_0\frac{ a_2-a_1}{d}m_2 = a_2-a_1}$$ 因此咱們獲得 $k_1$ 的一組解爲 $$k_1 = x_0\frac{ a_2-a_1}{d}$$ 方程的通解形式爲 $$k_1 = k_1+n\frac{m_2}{d}\ k_2 = k_2-n\frac{m_1}{d}$$ $k_1$ 的最小整數解爲 $$k_1 = k_1\text{ mod } (m_2/d)$$

代回原方程 $x = a_1+k_1n_1 $，咱們獲得 $x$ 的解以及 $a$. 此時方程組合並後的模數爲 $$ M = m_1*m_2/d$$ 所以原方程合併爲 $$ {x} = {a}\text{ mod } {M}$$