最短路徑之貝爾曼-福特算法

基本概念

圖：

有頂點和邊組成。又分爲

有向圖：

在這裏只能從A到B，不能從B到A。

無向圖：

能從A到B，也能從B到A，也能夠用下圖表示：

還有就是給邊加上權重，變成加權圖：

權重表明了兩個頂點鏈接的程度，它能夠是時間、距離、路費等等，根據實際狀況而定。

最短路徑：

如上圖，從A到D，有三種路徑：ABD、AD、ACD。

考慮到邊的權重（好比路費），三條線路中最短路徑不是兩點直連的AD（10），而是ABD（2+3=5）。

負環路：

雖然從現實場景中，人們很難想象邊的權重是負數——沒據說過走高速從A到B，不用交高速費，還倒找錢的。

可是從理論上來講，仍是要考慮負權邊的存在，這就致使一個問題：負環路的存在致使沒法找出最短路徑。

看下圖：

從A到A，花費的是0，這是最短路徑了，可是由於有了負權邊的存在，會形成：

A-B-C-A，權重爲2+2-5=-1，也就是說A繞了一圈，變成-1，比0小，最短路徑是ABCA了。

這還沒完，再繞一圈，-1+2+2-5=-2，A變成了-2，照此循環下去，A到A的權重會愈來愈小。

這就是負環路，永遠找不到最短路徑。

固然，有負權邊不表明必定有負環路，以下圖：

這就沒有造成負環路，A到C的最短路徑就是ABC=3

廣度搜索優先：

簡單地說，就是從根節點開始，搜索完其子節點後，再搜索子節點的子節點，直至找到目標節點或全部節點都被遍歷一遍。

如上圖，將根節點A的子節點BCD放入隊列，取出B，再將B的子節點EF放入隊列，接着取出C，再將C的子節點G放入隊列，按照隊列先進先出的特性，遍歷全部節點。

深度搜索優先：

從根節點開始，搜索完一條分支後，再搜索另外一分支。

如上圖，取根節點A壓入棧。

取出A，獲取A的子節點BCD，壓入棧。

取出B，獲取B的子節點EF，壓入棧。

取出F，並沒有子節點，且不是目標節點，拋出。E同理。

取出C，獲取C的子節點G，壓入棧。

取出G，同F。

取出D，獲取D的子節點H，壓入棧。

取出H，同F。

鬆弛操做：

如上圖，算出A到D的最短路徑。

一開始咱們只知道A到A的路徑是0，到BCD的路徑未知，就設爲∞。

計算A-D路徑爲0+10=10 <∞，故將D由∞改成10。這就是一次鬆弛操做。

貝爾曼-福特算法

簡單地說，就是對圖中全部訂單、全部邊都進行鬆弛操做，直到找到最短路徑。因此其時間複雜度應該是O（頂點數*邊數）。

僞代碼應該是：

for(int i=0;i<頂點數-1;i++){
 for(int j=0;j<邊數;j++){
  鬆弛操做;
 }
}

但在實際狀況中，在小於「頂點數-1」次的遍歷中，已經求出了最短路徑，因此在內部循環結束後，校驗一下有沒有進行鬆弛操做，若是沒有，則說明已求出最短路徑，直接跳出便可。

僞代碼：

for(int i=0;i<頂點數-1;i++){
 是否進行了鬆弛操做=false;
 for(int j=0;j<邊數;j++){
  if(終點權重>起點權重+邊權重){
   鬆弛操做：終點權重=起點權重+邊權重;終點的起點設爲起點名稱;
   是否進行了鬆弛操做=true;
  }
 }
 if(沒有進行鬆弛操做){
  break;
 }
}

再結合以前談到的負環路，在執行完最多頂點數-1次循環後，理應獲得最短路徑，若是咱們額外再遍歷一次全部的邊，看看有沒有進行鬆弛操做。若是有，說明存在負環路。

添加僞代碼：

是否存在負環路=false;
for(int j=0;j<邊數;j++){
 if(終點權重>起點權重+邊權重){
  是否存在負環路=true;
  break;  
 }
}

操做步驟：

如上圖，共有5個頂點：ABCDE。

16條邊（無向圖，每條線表明兩個邊）：AB、AC、AD、BA、BC、BE、CA、CB、CD、CE、DA、DC、DE、EB、EC、ED

以A爲起點，計算到其餘頂點的最短路徑。

初始狀態下，A的權重應爲0，其餘節點皆爲∞。

一、處理AB，B的權重改成1。此時A=0，B=1，其他爲∞。B的起點爲A。

二、處理AC，C的權重改成7。此時A=0，B=1，C=7。C的起點爲A。

三、處理AD，D的權重改成6。此時A=0，B=1，C=7，D=6。D的起點爲A。

四、處理BA，BA=1+1=2>0，無須進行鬆弛操做。

五、處理BC，BC=1+1=2<7，C的權重改成2，此時A=0，B=1，C=2，D=6。C的起點改成B。

六、接着繼續處理，本次對全部邊的循環，得出以下結果：

A到各點最低消耗：A=0，B=1，C=2，D=6，E=4

各點的起點：B<--A，C<--B，D<--A，E<--C。

七、接着開啓下一輪對全部邊的循環，在這次循環中，沒有進行鬆弛操做，故跳出循環。

八、判斷沒有負環路，至此得出最終結果。