剛體轉動的穩定性

　　若定點運動的剛體所受外力對固定點O的主矩$T=0$，則這種狀況稱爲剛體定點運動的歐拉狀況，相應的剛體常稱爲歐拉陀螺。剛體自由轉動時外力矩爲零，所以角動量守恆，角動量平方也守恆，即：$$L^2=I^2_1\omega^2_x+I^2_2\omega^2_y+I^2_3\omega^2_z=常數$$

　　同時它的能量也守恆：$$E=\frac{1}{2}(I_1\omega^2_x+I_2\omega^2_y+I_3\omega^2_z)=常數$$

　　剛體轉動的穩定性是討論什麼條件下剛體的角速度不隨時間變化。顯然，只有外力矩爲零時纔有可能，即只有歐拉陀螺才談得上轉動的穩定性。假設剛體慣性矩各不相同，即$I_{zz}>I_{yy}>I_{xx}$，若是剛體在沒有外力矩做用下繞其慣性主軸自由轉動，在發生微小擾動的狀況下轉動穩定性是怎樣的呢？設剛體初始時刻繞X軸旋轉，則角速度能夠表達爲$\mathbf{\omega}=\omega_x \mathbf{e_x}$，$\mathbf{e_x}$是X軸基向量。在剛體上施加一點微小的擾動，其角速度變爲$$\mathbf{\omega}=\omega_x \mathbf{e_x}+\lambda \mathbf{e_y}+\mu\mathbf{e_z}$$

　　$\lambda$和$\mu$都是很小的量，將角速度帶入歐拉方程可獲得：$$I_{xx}\dot{\omega}_x-(I_{yy}-I_{zz})\lambda\mu=0\\I_{yy}\dot{\lambda}-(I_{zz}-I_{xx})\omega_x\mu=0 \\I_{zz}\dot{\mu}-(I_{xx}-I_{yy})\omega_x\lambda=0$$

　　$\lambda\mu$是二階小的量，所以在方程中能夠忽略。所以從上面第一個方程中能夠獲得X軸角加速度爲零，即$\omega_x$近似是恆定值。其餘兩個方程能夠寫爲：$$\dot{\lambda}=[\frac{(I_{zz}-I_{xx})\omega_x}{I_{yy}}]\mu\\ \dot{\mu}=-[\frac{(I_{yy}-I_{xx})\omega_x}{I_{zz}}]\lambda$$

　　對上面第一個等式兩邊對時間求導後帶入第二個等式中，消除$\dot{\mu}$可獲得一個關於$\lambda$的二階常係數齊次線性微分方程：$$\ddot{\lambda}+[\frac{(I_{yy}-I_{xx})(I_{zz}-I_{xx})}{I_{yy}I_{zz}}]\omega^2_x\lambda=0$$

 　　顯然$\mu$也知足上面的微分方程。根據以前慣性矩大小的設定，方程中方括號的那一項爲正值，所以根據二階常係數齊次線性方程判別式的符號（$\Delta=p^2-4q<0$）可知其通解爲：$$\lambda=\lambda_0cos(\Omega_xt-\alpha)$$

　　其中，$\lambda_0$和$\alpha$是常數，且有：$$\Omega_x=[\frac{(I_{yy}-I_{xx})(I_{zz}-I_{xx})}{I_{yy}I_{zz}}]^{1/2}\omega_x$$

　　從微分方程的解能夠看出，剛體會以角頻率$\Omega_x$繞其初始狀態作正弦振盪。即剛體繞其X軸旋轉時，轉動在微小擾動的做用下是穩定的，由於擾動角速度$\lambda$的幅值不隨着時間增加而放大發散。

　　若是剛體初始時刻繞着Z軸旋轉，並施加了一個微小的擾動。這時情形與繞X軸旋轉相似，咱們能夠寫出振盪的角頻率：$$\Omega_z=[\frac{(I_{zz}-I_{xx})(I_{zz}-I_{yy})}{I_{xx}I_{yy}}]^{1/2}\omega_z$$

　　所以，剛體繞Z軸旋轉時對微小擾動也是穩定的。

　　假設剛體繞Y軸旋轉，即繞中間慣量軸旋轉，受到微小擾動：$\mathbf{\omega}=\lambda \mathbf{e_x}+\omega_y \mathbf{e_y}+\mu\mathbf{e_z}$，容易證實$\lambda$知足下面的微分方程：$$\ddot{\lambda}-[\frac{(I_{yy}-I_{xx})(I_{zz}-I_{yy})}{I_{xx}I_{zz}}]\omega^2_y\lambda=0$$

　　該微分方程的通解爲：$$\lambda=Ae^{kt}+Be^{-kt}$$

　　其中A，B爲常數，且有：$$k=[\frac{(I_{yy}-I_{xx})(I_{zz}-I_{yy})}{I_{xx}I_{zz}}]^{1/2}\omega_y$$

　　這種狀況下擾動角速度的幅值隨着時間指數增加，轉動穩定性被破壞。所以剛體繞Y軸旋轉時對微小擾動不穩定。

　　結論：若是歐拉狀況下剛體慣性主軸的三個轉動慣量不相同，則繞最大和最小轉動慣量對應的軸的旋轉是穩定的，繞中間軸的旋轉是不穩定的。若是其中有兩個轉動慣量相同，則能夠證實剛體只有繞不一樣的那個軸旋轉是穩定的。好比$I_{xx}=I_{yy}\neq I_{zz}$，則只有繞Z軸的轉動是穩定的。

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 　　在SIMPACK動力學仿真軟件中設置立方體的慣性張量爲$I=diag(1,2,3)$，刪除約束和重力並添加初始條件（Initial Conditions），讓剛體主要繞Z軸旋轉，角速度爲1rad/s，X軸和Y軸擾動角速度設爲0.1rad/s

　　　　在求解器設置中將積分時間改成60s，開始在線/離線仿真：

　　從結果的角速度曲線圖能夠看出在有微小擾動時剛體繞轉動慣量最大的軸旋轉是穩定的：

　　將初始角速度設爲1,0.1,0.1，即主要繞X軸旋轉，積分時間設爲200s，仿真結果以下。能夠看出在有微小擾動時剛體繞轉動慣量最小的軸旋轉是穩定的：

　　 將初始角速度設爲0.1,1,0.1，即主要繞Y軸旋轉，積分時間設爲200s，仿真結果以下。能夠看出繞Y軸的轉動不穩定：

 

 

參考：

Rotational Stability

關於剛體轉動穩定性的研究

物理引擎中的剛體動力學

剛體質量分佈與牛頓-歐拉方程

Gyroscope Physics

Gyroscopic forces in ODE

YouTube Gyroscopic forces in ODE

Game Physics-Numerical Integration

Free rotation of a rigid body animation

Integration Basics-How to integrate the equations of motion

Accurate and Efficient Simulation of Rigid Body Rotations

Stabilizing Gyroscopic Forces in Rigid Multibody Simulations