圖論動態規劃算法——Floyd最短路徑

時間 2019-11-24

標籤圖論動態規劃算法 floyd 最短路徑简体版

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前言

推出一個新系列，《看圖輕鬆理解數據結構和算法》，主要使用圖片來描述常見的數據結構和算法，輕鬆閱讀並理解掌握。本系列包括各類堆、各類隊列、各類列表、各類樹、各類圖、各類排序等等幾十篇的樣子。mysql

Floyd算法

Floyd是一種經典的多源最短路徑算法，它經過動態規劃的思想來尋找給定加權圖中的多源點之間的最短路徑，算法時間複雜度是O(n3)。之因此叫Floyd是由於該算法發明人之一是Robert Floyd，他是1978年圖靈獎得到者，同時也是斯坦福大學計算機科學系教授。算法

核心思想

對於n個點的加權圖，從加權圖的權值矩陣開始，遞歸地更新n次最終求得每兩點之間的最短路徑矩陣。即加權圖的鄰接矩陣爲 $D=(d_{ij})_{n \times n}$ ，按必定公式對該矩陣進行遞歸更新，初始時矩陣爲D(0)，第一次，根據公式用D(0)構建出矩陣D(1)；第二次，根據公式用D(1)構建出矩陣D(2)；以此類推，根據公式用D(n-1)構造出矩陣D(n)，D(n)即爲圖的距離矩陣，i行j列表示頂點i到頂點j的最短距離。sql

動態規劃

如何理解這種動態規劃算法呢？能夠理解爲逐一選擇中轉點，而後針對該中轉點，全部以此爲中轉點的其它點都要根據規定進行更新，這個規定就是原來兩點之間的距離若是經過該中轉點變小了則更新距離矩陣。好比選擇「1」做爲中轉點，原來「02」之間的距離爲5，經過中轉點1後（即路徑變爲「012」）距離爲4，變小了，那麼就更新距離矩陣對應的元素，由5更新爲4。當圖中全部頂點都被做爲中轉點處理之後，那麼獲得的最後距離矩陣就是多源最短距離矩陣了。數組

設爲i到j的中間節點編號不超過k的最短距離，當k=0時， $c(i,j,0)=d_{ij}$ ，對於n個頂點的圖，咱們要求的i到j的最短距離便是。bash

如今咱們創建和之間的遞歸關係，對於任意k，，因而能夠根據該遞歸關係獲得最終的最短路徑，即中間節點編號不超過n-1的最短距離。網絡

算法過程

從任意一條單邊路徑開始，全部兩點之間的距離是邊的權重，若是兩點之間沒有邊相連，則權重爲無窮大。即用數組 $D=(d_{ij})_{n \times n}$ 來記錄i,j之間的最短距離，初始時，若i=j則dis[i][j]=0。若i、j兩點之間相連則dis[i][j]的值爲該邊的權值。若i、j兩點沒有相連則dis[i][j]的值爲無窮。
對於每一對頂點u和v，看看是否存在一個頂點w使得從u到w再到v比已知的路徑更短，若是存在則更新。即對全部的k值(1<k<n)，計算(d[i][k]+d[k][j])的值，若其小於d[i][j],則d[i][j]=d[i][k]+d[k][j]，不然d[i][j]的值不變。

神奇的五行代碼

Floyd算法核心就是下列五行代碼，能夠體會一下，三個for循環嵌套，最外層的k便是循環取不一樣中轉點時的狀況，分別讓圖中每一個頂點做爲中轉點去更新距離，完成全部循環後就是最終的最短距離矩陣。數據結構

for(k=1;k<=n;k++)
    for(i=1;i<=n;i++)
        for(j=1;j<=n;j++) 
            if(d[i][k]+d[k][j]<d[i][j]) 
                    d[i][j]=d[i][k]+d[k][j];
複製代碼

優缺點

優勢：容易理解，能夠算出任意兩個節點之間的最短距離，代碼編寫簡單。對於稠密圖效果最佳，邊權可正可負。併發

缺點：時間複雜度比較高，不適合計算大量數據。機器學習

執行過程

對於一個擁有7個頂點的無向加權圖，分別用0-6來表示圖的每一個頂點，每條邊上的數字爲對應的權重。數據結構和算法

首先根據每條邊的權重來初始化距離矩陣，這是一個[7x7]的矩陣，行列分別對應兩個頂點，好比第0行第1列表示頂點0到頂點1，對應的值爲3，即權值爲3。以此類推，其它元素分別表明對應邊的權重。

當以頂點0爲中轉點時

逐一查找看是否有以0爲中轉點使得距離更短，實際上並不用比較全部矩陣的元素，只需比較知足if (i != j && j != k && i != k)條件的元素，即都爲0的對角線和中轉點對應的行列不用比較，由於對角線上的元素表示頂點本身到本身的距離，因此無需比較，而中轉點對應的行列表示頂點到中轉點的距離，也無需比較。

比較d[1][2]與d[1][0]+d[0][2]，由於1<3+5，因此不更新d[1][2]。