CDQ分治與總體二分

前言

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原本想要只講CDQ分治的，但因爲總體二分和CDQ分治有一些類似之處，便順藤摸瓜一塊兒講了

在講解以前，先普及一下在線算法和離線算法的定義

在線算法： 能夠以序列化的方式一個一個的處理輸入，沒必要事先知道全部輸入數據 

離線算法： 必須事先知道全部的輸入數據 （例如選擇排序就是一個離線算法，而插入排序則不是）

還有一點，在學習算法前掌握凸殼和斜率優化可能會有神助

 

 

CDQ分治

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CDQ分治，是一種十分優美的暴力算法。它能夠代替不少比較玄學的數據結構，乃廣大OIer的福音

可是，不得不感嘆一句，網絡上關於CDQ分治的講解實在是太少，並且語言過於抽象，

這致使不少OIer沒能接觸到其魅力就避而遠之。

CDQ分治的關鍵在於，每一個子問題不只是解決它自身，而且用前一個子問題來求解後一個子問題。經常使用來將一些動態的問題轉化到靜態來解決，使問題處理起來更加方便。 
使用CDQ分治須要知足必定的條件：

1.題目容許離線操做

2.修改操做對詢問的貢獻獨立，且修改之間互不影響

3.修改對答案的貢獻是肯定的，與斷定標準無關

4.常數小

揭開這個幌子，先來舉例說明這個算法的特色

1.代碼簡短（比起樹套樹來講）

2.易想出

3.爲離線算法（化動態開點爲靜態查詢），若是須要強制在線的話仍是推薦其它算法

和普通的分治同樣，分和治在這個算法中都獲得了很好的展示

1.咱們要解決一系列問題，這些問題通常包含修改和查詢操做，能夠把這些問題排成一個序列，用一個區間[L,R]表示。

2.分。遞歸處理左邊區間[L,M]和右邊區間[M+1,R]的問題。

3.治。合併兩個子問題，同時考慮到[L,M]內的修改對[M+1,R]內的查詢產生的影響。即，用左邊的子問題幫助解決右邊的子問題。

 

和不少數據結構（線段樹，樹狀數組。。。）同樣，它作了這麼可能是爲了什麼？就是爲了把符合本次查詢的限制的修改對答案產生的效果合併起來 

 

 

 總體二分

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說完了CDQ分治再來講說總體二分

相對於CDQ分治，總體二分的知名度會更高一些，是不少OIer在解決一些問題時的經常使用方法

總體二分產生的緣由：對於單個查詢而言，咱們能夠採用預處理+二分答案的方法解決，但每每咱們要回答的是一系列的查詢，對於每一個查詢而言咱們都要從新預處理而後二分，時間複雜度沒法承受，可是咱們仍然但願經過二分答案的思想來解決，總體二分就是基於這樣一種想法——咱們將全部操做（包括修改和查詢）一塊兒二分，進行分治 

簡單地說，總體二分就是對詢問和答案同時二分

一樣的，總體二分也須要知足必定的條件：

1. 題目容許離線操做 

2. 修改操做對詢問的貢獻獨立，且修改之間互不影響 

3. 修改對答案的貢獻是肯定的，與斷定標準無關 

4. 答案具備二分性

5.貢獻知足交換律，結合律，具備可加性

 

 CDQ分治和總體二分的異同

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同：

1.都是按時間進行分治

2.代碼很像（不徹底同樣，這在異中會講到）

3.複雜度都是O(f(n)logn)

異：

1.總體二分有二分答案操做

2.適用範圍不一樣（具體看上面的使用條件）