平面分割問題小結

ACM學習羣裏接觸到的問題，既然假期有時間就寫個總結吧。

部份內容參考了：

http://www.2cto.com/kf/201207/144626.html

http://www.doc88.com/p-272339677599.html

問題一：直線分割平面問題

題意：n條直線，最多能夠把平面分爲多少個區域。
思路：當有n-1條直線時，平面最多被分紅了f(n-1)個區域。則第n條直線要切成的區域數最多，就必須將直線儘量兩兩相交，而避免多條直線相交於一點和平行關係的出現。這樣就會獲得n-1個交點。這些交點將第n條直線分爲2條射線和n-2條線段。而每條射線和線段將以有的區域一分爲二。這樣就多出了2+（n-2）個區域。
由此可得：f(n) = f(n-1)+n = f(n-2)+(n-1)+n =f(1)+1+2+……+n = n(n+1)/2+1。

問題二：折現分割平面 (Hdu 2050)

根據直線分平面可知，由交點決定了射線和線段的條數，進而決定了新增的區域數。當n-1條折線時，區域數爲f(n-1)。爲了使增長的區域最多，則折線的兩邊的線段要和n-1條折線的邊，即2*（n-1）條線段相交。那麼新增的線段數爲4*（n-1），射線數爲2。但要注意的是，折線自己相鄰的兩線段只能增長一個區域。
由此可得：f(n) = f(n-1)+4(n-1)+2-1 = f(n-1)+4(n-1)+1 = f(n-2)+4(n-2)+4(n-1)+2 = f(1)+4+4*2+……+4(n-1)+(n-1) = 2n^2-n+1

#include <cstdio>

int main ()
{
    int T,n;
    scanf("%d",&T);
    while (T--)
    {
        scanf("%d",&n);
        printf("%d\n",2*n*n-n+1);
    }
    return 0;
}

問題三：橢圓切割平面

該問題只討論兩兩橢圓只有兩個交點的狀況

題意：有n條封閉曲線畫在平面上，而任何兩條封閉曲線剛好相交於兩點，且任何三條封閉曲線不相交於同一點，問這些封閉曲線把平面分割成的區域個數。

設橢圓數爲n，分割數爲S(n)

則：S(1)=2 , S(2) =4 , S(3)=8 , S(4)=14 ……

思路：當n-1個圓時，區域數爲f(n-1).那麼第n個圓就必須與前n-1個圓相交，則第n個圓被分爲2（n-1）段線段，增長了2（n-1）個區域。
則： f(n) = f(n-1)+2(n-1) = f(1)+2+4+……+2(n-1) = n^2-n+2

問題四：三角形分割平面 (Hdu 1249)

設三角形數爲n，分割數爲S(n)

則S(1)=2 , S(2)=8 , S(3)=20 , S(4)=38

當 n=2 時，新增的三角形與原有的三角形有了6個交點，即每邊兩個交點，也就產生6個新增區域，同理遞推

遞推式：S(n) = S(n-1)+6(n-1)

S(n)=3*n^2-3*n+2

#include <cstdio>

int main ()
{
    int T,n;
    scanf("%d",&T);
    while (T--)
    {
        scanf("%d",&n);
        printf("%d\n",3*n*n-3*n+2);
    }
    return 0;
}

問題五：平面分割空間問題（hdu1290）

由二維的分割問題可知，平面分割與線之間的交點有關，即交點決定射線和線段的條數，從而決定新增的區域數。試想在三維中則是否與平面的交線有關呢？當有n-1個平面時，分割的空間數爲f(n-1)。要有最多的空間數，則第n個平面需與前n-1個平面相交，且不能有共同的交線。即最多有n-1 條交線。而這n-1條交線把第n個平面最多分割成 g(n-1)個區域。（g(n)爲問題一中的直線分平面的個數）此平面將原有的空間一分爲二，則最多增長 g(n-1) 個空間。
則：f=f(n-1)+g(n-1)    ps:g(n)=n(n+1)/2+1

         =f(n-2)+g(n-2)+g(n-1) = f(1)+g(1)+g(2)+……+g(n-1) = 2+(1*2+2*3+3*4+……+(n-1)n)/2+（n-1）=(1+2^2+3^2+4^2+……+n^2-1-2-3-……-n )/2+n+1=(n^3+5n)/6+1

#include <cstdio>

int main ()
{
    int n;
    while (~scanf("%d",&n))
        printf("%d\n",(n*n*n+5*n)/6+1);
    return 0;
}

補充：Acdream 1080

題目連接：http://acdreamoj.sinaapp.com/problem.php?id=1080

#include <cstdio>

long long Deal (long long s,long long e,long long n)
{
    if (e-s<=4)
    {
        for (long long i=s;i<=e;i++)
            if (i*i-i+2>=n)
                return i;
    }
    long long mid = (s+e)>>1;
    if ( mid*mid-mid+2 >= n )
        return Deal (s,mid,n);
    else
        return Deal (mid+1,e,n);
}

int main ()
{
    int n,T;
    scanf("%d",&T);
    while (T--)
    {
        scanf("%d",&n);
        if (n==0 || n==2)
            printf("1\n");
        else
            printf("%lld\n",Deal (0,200000,n));
    }
    return 0;
}