【分割平面，分割空間類題】【HDU1290 HDU2050】

 HDU 2050

折線分割平面

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Problem Description

咱們看到過不少直線分割平面的題目，今天的這個題目稍微有些變化，咱們要求的是n條折線分割平面的最大數目。好比，一條折線能夠將平面分紅兩部分，兩條折線最多能夠將平面分紅7部分，具體以下所示。

 

Input

輸入數據的第一行是一個整數C,表示測試實例的個數，而後是C 行數據，每行包含一個整數n(0<n<=10000),表示折線的數量。

 

Output

對於每一個測試實例，請輸出平面的最大分割數，每一個實例的輸出佔一行。

 

Sample Input

  
  
  
  

   
   
   
   2
1
2
  
  
  
  

 

Sample Output

  
  
  
  

   
   
   
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7
  
  
  
  

 

Author

lcy

 

Source

遞推求解專題練習（For Beginner）

 

(1) n條直線最多分平面問題

      題目大體如:n條直線，最多能夠把平面分爲多少個區域。

      析:可能你之前就見過這題目，這充其量是一道初中的思考題。但一個類型的題目仍是從簡單的入手，才容易發現規律。當有n-1條直線時，平面最多被分紅了f（n-1）個區域。則第n條直線要是切成的區域數最多，就必須與每條直線相交且不能有同一交點。這樣就會獲得n-1個交點。這些交點將第n條直線分爲2條射線和n-2條線斷。而每條射線和線斷將以有的區域一分爲二。這樣就多出了2+（n-2）個區域。

         故：f(n)=f(n-1)+n

                      =f(n-2)+(n-1)+n

                      ……

                      =f(1)+1+2+……+n

                      =n(n+1)/2+1

         (2) 折線分平面（hdu2050）

       根據直線分平面可知，由交點決定了射線和線段的條數，進而決定了新增的區域數。當n-1條折線時，區域數爲f（n-1）。爲了使增長的區域最多，則折線的兩邊的線段要和n-1條折線的邊，即2*（n-1）條線段相交。那麼新增的線段數爲4*（n-1），射線數爲2。但要注意的是，折線自己相鄰的兩線段只能增長一個區域。

       

       故：f(n)=f(n-1)+4(n-1)+2-1

                      =f(n-1)+4(n-1)+1

                     =f(n-2)+4(n-2)+4(n-1)+2

                     ……

                     =f(1)+4+4*2+……+4(n-1)+(n-1)   

                     =2n^2-n+1

 (3) 封閉曲線分平面問題

      題目大體如設有n條封閉曲線畫在平面上，而任何兩條封閉曲線剛好相交於兩點，且任何三條封閉曲線不相交於同一點，問這些封閉曲線把平面分割成的區域個數。

       析：當n-1個圓時，區域數爲f(n-1).那麼第n個圓就必須與前n-1個圓相交，則第n個圓被分爲2（n-1）段線段，增長了2（n-1）個區域。

  

             故： f(n)=f(n-1)+2(n-1)     

                             =f(1)+2+4+……+2(n-1)

                             =n^2-n+2

獻給杭電五十週年校慶的禮物

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Problem Description

或許你曾經牢騷滿腹
或許你依然心懷憂傷
或許你近在咫尺
或許你我天各一方

對於每個學子
母校 
永遠航行在
生命的海洋

今年是咱們杭電建校五十週年，這是一個值得祝福的日子。咱們該送給母校一個怎樣的禮物呢？對於目前的你們來講，最好的禮物固然是省賽中的好成績，我不能參賽，就送給學校一個DOOM III球形大蛋糕吧，這但是名牌，估計要花掉我半年的銀子呢。

想象着正式校慶那一天，校長親自操刀，把這個大蛋糕分給各地趕來祝賀的校友們，你們必定很高興，呵呵，流口水了吧...

等一等，吃蛋糕以前先考你們一個問題：若是校長大人在蛋糕上切了N刀（校長刀法極好，每一刀都是一個絕對的平面），最多能夠把這個球形蛋糕切成幾塊呢？

作不出這個題目，沒有蛋糕吃的！
爲-了-母-校-，爲-了-蛋-糕-（不是爲了DGMM，楓之羽最會浮想聯翩...），加-油-！

 

Input

輸入數據包含多個測試實例，每一個實例佔一行，每行包含一個整數n(1<=n<=1000)，表示切的刀數。

 

Output

對於每組輸入數據，請輸出對應的蛋糕塊數，每一個測試實例輸出一行。

 

Sample Input

  
  
  
  

   
   
   
   1
2
3
  
  
  
  

 

Sample Output

  
  
  
  

   
   
   
   2
4
8
  
  
  
  

 

Author

lcy

 

Source

杭電ACM集訓隊訓練賽（VIII）

 

  (4)平面分割空間問題（hdu1290）

          由二維的分割問題可知，平面分割與線之間的交點有關，即交點決定射線和線段的條數，從而決定新增的區域數。試想在三維中則是否與平面的交線有關呢？當有n-1個平面時，分割的空間數爲f（n-1）。要有最多的空間數，則第n個平面需與前n-1個平面相交，且不能有共同的交線。即最多有n-1 條交線。而這n-1條交線把第n個平面最多分割成g（n-1）個區域。（g（n）爲（1）中的直線分平面的個數）此平面將原有的空間一分爲二，則最多增長g（n-1）個空間。

         

        故：f=f(n-1)+g(n-1)    ps:g(n)=n(n+1)/2+1

                   =f(n-2)+g(n-2)+g(n-1)

                   ……

                  =f(1)+g(1)+g(2)+……+g(n-1)

                 =2+(1*2+2*3+3*4+……+(n-1)n)/2+（n-1）

                 =(1+2^2+3^2+4^2+……+n^2-1-2-3-……-n )/2+n+1

                =(n^3+5n)/6+1