CRC校驗

簡介

       循環冗餘校驗碼（CRC）的基本原理是：在K位信息碼後再拼接R位的校驗碼，整個編碼長度爲N位，所以，這種編碼也叫（N，K）碼。對於一個給定的（N，K）碼，能夠證實存在一個最高次冪爲N-K=R的多項式G(x)。根據G(x)能夠生成K位信息的校驗碼，而G(x)叫作這個CRC碼的生成多項式。 校驗碼的具體生成過程爲：假設要發送的信息用多項式C(X)表示，將C(x)左移R位（可表示成C(x)*2R），這樣C(x)的右邊就會空出R位，這就是校驗碼的位置。用 C(x)*2R 除以生成多項式G(x)獲得的餘數就是校驗碼。

對應關係

    多項式和二進制數有直接對應關係：X的最高冪次對應二進制數的最高位，如下各位對應多項式的各冪次，有此冪次項對應1，無此冪次項對應0。能夠看出：X的最高冪次爲R，轉換成對應的二進制數有R+1位。

多項式包括生成多項式G(X)和信息多項式C(X)。

如生成多項式爲G(X)=X4+X3+X+1， 可轉換爲二進制數碼11011。

而發送信息位 1111，可轉換爲數據多項式爲C(X)=X3+X2+X+1。

生成多項式

      是接受方和發送方的一個約定，也就是一個二進制數，在整個傳輸過程當中，這個數始終保持不變。

       在發送方，利用生成多項式對信息多項式作模2除生成校驗碼。在接受方利用生成多項式對收到的編碼多項式作模2除檢測和肯定錯誤位置。

應知足如下條件：

A、生成多項式的最高位和最低位必須爲1。

B、當被傳送信息（CRC碼）任何一位發生錯誤時，被生成多項式作除後應該使餘數不爲0。

C、不一樣位發生錯誤時，應該使餘數不一樣。

D、對餘數繼續作除，應使餘數循環。

校驗碼位數

      CRC校驗碼位數 = 生成多項式位數 - 1。

注意有些生成多項式的簡記式中將生成多項式的最高位1省略了。

生成步驟

一、將X的最高次冪爲R的生成多項式G(X)轉換成對應的R+1位二進制數。

二、將信息碼左移R位，至關於對應的信息多項式C(X)*2R。

三、用生成多項式（二進制數）對信息碼作除，獲得R位的餘數(注意：這裏的二進制作除法獲得的餘數實際上是模2除法獲得的餘數，並不等於其對應十進制數作除法獲得的餘數。)。

四、將餘數拼到信息碼左移後空出的位置，獲得完整的CRC碼。

示例

【例】假設使用的生成多項式是G(X)=X3+X+1。4位的原始報文爲1010，求編碼後的報文。
解：
一、將生成多項式G(X)=X3+X+1轉換成對應的二進制除數1011。
二、此題生成多項式有4位（R+1）(注意：4位的生成多項式計算所得的校驗碼爲3位，R爲校驗碼位數)，要把原始報文C(X)左移3（R）位變成1010 000
三、用生成多項式對應的二進制數對左移3位後的原始報文進行模2除（高位對齊），至關於按位異或：
1010000
1011
------------------
0001000
1011
------------------
0011
獲得的餘位011，因此最終編碼爲：1010 011

接收方校驗

     使用相同的生成碼進行校驗:接收到的字段/生成碼（二進制除法） 若是可以除盡，則正確. 

1010011/1011 無餘數