P2158 [SDOI2008]儀仗隊 題解

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題目描述

做爲體育委員，C君負責此次運動會儀仗隊的訓練。儀仗隊是由學生組成的N * N的方陣，爲了保證隊伍在行進中整齊劃一，C君會跟在儀仗隊的左後方，根據其視線所及的學生人數來判斷隊伍是否整齊(以下圖)。

如今，C君但願你告訴他隊伍整齊時能看到的學生人數。

 

輸入格式

共一個數N

輸出格式

共一個數，即C君應看到的學生人數。

輸入輸出樣例

輸入 #1複製

4

輸出 #1複製

9

 解題思路

以左下角C君所在的點爲原點，第一行爲x軸，第一列爲y軸創建平面直角座標系。不難發現，一條直線上只有第一個點能被看見，而直線的斜率 k = y / x，即點(x , y)能被看見的條件爲其與原點的連線的斜率是第一次出現；咱們又知道，分數化爲最簡形式時有：gcd (x , y) = 1,即x與y互質，那麼咱們的問題就轉化爲了求有幾對互質的x與y。

在數論中，對正整數n，歐拉函數是小於或等於n的正整數中與n互質的數的數目(所以φ(1)=1)。所以，方陣下三角中互質的x與y的對數即爲(方陣爲n * n的大小，而座標軸的起點是由0開始計算，因此只累加至n - 1)，因爲方陣關於y = x對稱，最後輸出答案2 *  + 1便可(y = x 上還有一點)。

歐拉函數

 

度娘與各大神犇對該函數的證實過程遠遠賽過本蒟蒻，在此就不過多贅述了。

AC代碼

 1 //打表版(3~6s)
 2 #include <bits/stdc++.h>
 3 #define MAXN 40000 + 10
 4 
 5 int phi[MAXN],ans[MAXN];
 6 
 7 void euler()
 8 {
 9     ans[1] = 1;
10     for (int i = 1; i <= MAXN; i++)
11     {
12         int res = i, n = i;
13         for (int j = 2; j * j <= n; j++)
14         {
15             if (!(n % j))
16                 res = res * (j - 1) / j;
17             while (!(n % j))
18                 n /= j;
19         }
20         if (n > 1)
21             res = res * (n - 1) / n;
22         phi[i] = res;
23     }
24     for (int i = 2; i <= MAXN; i++)
25         for (int j = 1; j < i; j++)
26             ans[i] += phi[j];
27 }
28 
29 int main(int argc, char const *argv[])
30 {
31     euler();
32     int n;
33     while (~scanf("%d", &n))
34     {
35         if (n == 1) //方陣大小爲1*1時特判，此時隊列中只有本身，輸出0
36         {
37             puts("0");
38             continue;
39         }
40         printf("%d\n", 2 * ans[n] + 1);
41     }
42     return 0;
43 }

View Code

 1 //優化版(55±5ms)
 2 #include <bits/stdc++.h>
 3 #define MAXN 40000 + 10
 4 
 5 int main(int argc, char const *argv[])
 6 {
 7     int n, ans;
 8     while (~scanf("%d", &n))
 9     {
10         ans = 0;
11         if (n == 1)
12         {
13             printf("%d\n", 0);
14             continue;
15         }
16         for (int i = 1; i < n; i++)
17         {
18             int res = i, t = i;
19             for (int j = 2; j * j <= t; j++)
20             {
21                 if (!(t % j))
22                     res = res * (j - 1) / j;
23                 while (!(t % j))
24                     t /= j;
25             }
26             if (t > 1)
27                 res = res * (t - 1) / t;
28             ans += res;
29         }
30         printf("%d\n", 2 * ans + 1);
31     }
32     return 0;
33 }

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