算法導論讀書筆記（16）

算法導論讀書筆記（16）

目錄

• 動態順序統計
  • 檢索具備給定排序的元素
  • 肯定一個元素的秩
• 區間樹
  • 步驟1：基礎數據結構
  • 步驟2：附加信息
  • 步驟3：維護信息
  • 步驟4：設計新操做

動態順序統計

以前介紹過 順序統計 的概念。在一個無序的集合中，任意的順序統計量均可以在 O ( n )時間內找到。而這裏咱們將介紹如何在 O ( lg n )時間內肯定任意的順序統計量。

下圖顯示的是一種支持快速順序統計量操做的數據結構。一棵 順序統計樹 T 經過在紅黑樹的每一個結點中存入附加信息而成。在一個結點 x 內，增長域 x.size 。該域包含以結點 x 爲根的子樹的（內部）結點數（包括 x 自己），即子樹的大小。設 T.nil.size 爲0，則有

x.size = x.left.size + x.right.size + 1

檢索具備給定排序的元素

過程 OS-SELECT(x, i) 返回一個指向以 x 爲根的子樹中包含第 i 小關鍵字的結點的指針。爲找出順序統計樹 T 中的第 i 小關鍵字，調用過程 OS-SELECT(T.root, i) 。

OS-SELECT(x, i)
1 r = x.left.size + 1
2 if i == r
3     return x
4 elseif i < r
5     return OS-SELECT(x.left, i)
6 else
7     return OS-SELECT(x.right, i)

對含 n 個元素的動態集合， OS-SELECT 的運行時間爲 O ( lg n )。

肯定一個元素的秩

給定指向一順序統計樹 T 中結點 x 的指針，過程 OS-RANK 返回在對 T 進行中序遍歷後獲得的線性序中 x 的位置。

OS-RANK(T, x)
1 r = x.left.size + 1
2 y = x
3 while y != T.root
4     if y == y.p.right
5         r = r + y.p.left.size + 1
6     y = y.p
7 return r

x 的秩能夠視爲在對樹的中序遍歷中，排在 x 以前的結點個數再加1（ x 自己）。在最壞狀況下，對含 n 個結點的順序統計樹， OS-RANK 的運行時間爲 O ( lg n )。

區間樹

在算法設計過程當中，常常須要對基本的數據結構進行擴張，以便支持一些新功能。而對一種數據結構的擴張過程一般能夠分爲四個步驟：

1. 選擇基礎數據結構
2. 肯定要在基礎數據結構中添加哪些信息
3. 驗證可用基礎數據結構上的基本修改操做來維護這些新添加的信息
4. 設計新的操做

以上只是給出了一個通常模式，設計順序統計樹時，咱們就依照了這些步驟。

在這裏，咱們要擴展紅黑樹以支持由區間構成的動態集合上的操做（假設區間都是閉區間）。一個 閉區間 是一個實數的有序對[ t₁, t₂ ]，其中 t₁ <= t₂ 。咱們能夠把一個區間[ t₁, t₂ ]表示成一個對象，其各個域爲 i.low = t₁ （低端點）， i.high = t₂ （高端點）。任意兩個區間 i 和 i' 都知足 區間三分法 ，即：

• i 和 i' 重疊（ i.low <= i'.high ，且 i'.low <= i.high ）
• i 在 i' 左邊（ i.high < i'.low ）
• i 在 i' 右邊（ i'.high < i.low ）

區間樹是一種對動態集合進行維護的紅黑樹，該集合中的每一個元素 x 都包含一個區間 x.int 。區間樹支持下列操做：

• INTERVAL-INSERT(t, X) ：將包含區間域 int 的元素 x 插入到區間樹 T 中。
• INTERVAL-DELETE(T, x) ：從區間樹 T 中刪除元素 x 。
• INTERVAL-SEARCH(T, i) ：返回一個指向區間樹 T 中元素 x 的指針，使 x.int 與 i 重疊；不然返回 T.nil 。

下面就按以前提到的四個步驟，來分析和設計區間樹上的各類操做。

步驟1：基礎數據結構

基礎數據結構爲紅黑樹，其中每一個結點 x 包含一個區間域 x.int ， x 的關鍵字爲區間的低端點 x.int.low 。

步驟2：附加信息

每一個結點還要包含一個值 x.max ，即以 x 爲根的子樹中全部區間的端點的最大值。

步驟3：維護信息

必須驗證對含 n 個結點的區間樹的插入和刪除能在 O ( lg n )時間內完成。給定區間 x.int 和 x 的子結點的 max 值，能夠肯定 x.max = max ( x.int.high , x.left.max , x.right.max )。

步驟4：設計新操做

惟一須要的新操做是 INTERVAL-SEARCH 。

INTERVAL-SEARCH(T, i)
1 x = T.root
2 while x != T.nil and i does not overlap x.int
3     if x.left != T.nil and x.left.max >= i.low
4         x = x.left
5     else
6         x = x.right
7 return x