算法導論讀書筆記（6）

算法導論讀書筆記（6）

目錄

• 優先級隊列
• 練習
  • 6.5-7
  • 6.5-8

優先級隊列

堆的一個很常見的應用：做爲高效的 優先級隊列 （priority queue）。隊列也有兩種：最大優先級隊列和最小優先級隊列。

優先級隊列 是一種用來維護由一組元素構成的集合 S 的數據結構，這一組元素中的每個都有一個關鍵字 key 。一個 最大優先級隊列 支持如下操做：

• INSERT(S, x) ：把元素 x 插入集合。
• MAXIMUM(S) ：返回 S 中具備最大關鍵字的元素。
• EXTRACT-MAX(S) ：去掉並返回 S 中具備最大關鍵字的元素。
• INCREASE-KEY(S, x, k) ：將元素 x 的關鍵字值增長到 k ，這裏 k 值不能小於 x 的原關鍵字值。

最大優先級隊列的一個應用是在一臺分時計算機上進行做業調度。 最小優先級隊列 支持的操做包括 INSERT ， MINIMUM ， EXTRACT-MIN ， DECREASE-KEY 。這種隊列可被用在基於事件驅動的模擬器中。

下面是最大優先級隊列的操做。過程 HEAP-MAXIMUM 用 Θ (1)的時間實現了 MAXIMUM 操做

HEAP-MAXIMUM(A)
1 return A[1]

過程 HEAP-EXTRACT-MAX 實現了 EXTRACT-MAX 操做。

HEAP-EXTRACT-MAX(A)
1 if A.heap-size < 1
2     error "heap underflow"
3 max = A[1]
4 A[1] = A[A.heap-size]
5 A.heap-size = A.heap-size - 1
6 MAX-HEAPIFY(A, 1)
7 reutrn max

HEAP-EXTRACT-MAX 的運行時間爲 O (lg n )。

過程 HEAP-INCREASE-KEY 實現了 INCREASE-KEY 操做。

HEAP-INCREASE-KEY(A, i, key)
1 if key < A[i]
2     error "new key is smaller than current key"
3 A[i] = key
4 while i > 1 and A[PARENT(i)] < A[i]
5     exchange A[i] with A[PARENT(i)]
6     i = PARENT(i)

下圖是 HEAP-INCREASE-KEY 操做的一個示例。在 n 元堆上， HEAP-INCREASE-KEY 的運行時間爲 O (lg n )。

下面的 MAX-HEAP-INSERT 過程實現了 INSERT 操做。

MAX-HEAP-INSERT(A, key)
1 A.heap-size = A.heap-size + 1
2 A[A.heap-size] = -∞
3 HEAP-INCREASE-KEY(A, A.heap-size, key)

該過程的運行時間也是 O (lg n )。

上述過程的參考實現。

練習

6.5-7

給出 HEAP-DELETE 的僞碼

HEAP-DELETE(A, i)
1 A[i] = A[A.heap-size]
2 A.heap-size = A.heap-size - 1
3 MAX-HEAPIFY(A, i)

6.5-8

給出一個時間爲 O ( n lg n )，用來將 k 個已排序鏈表合併成一個排序鏈表的算法。此處 n 爲全部鏈表中元素的總數。（用最小堆作 k 路合併）

問題思路：首先將 k 個已排序鏈表中的第一個元素取出並放入一個有 k 個元素的數組中，接着使用該數組構造最小堆。而後使用 HEAP-EXTRACT-MIN 過程每次從堆中取出一個元素放入新鏈表中，而後再從取出元素的原鏈表中取出下一個元素放入堆中，重複以上步驟直到堆爲空。最終的新鏈表中保存的就是已排序的全部元素。