二維樹狀數組

 當要頻繁的對數組元素進行修改,同時又要頻繁的查詢數組內任一區間元素之和的時候,能夠考慮使用樹狀數組. 

  一般對一維數組最直接的算法能夠在O(1)時間內完成一次修改,可是須要O(n)時間來進行一次查詢.而樹狀數組的修改和查詢都可在O(log(n))的時間內完成. 

1、回顧一維樹狀數組 
假設一維數組爲A[i](i=1,2,...n),則與它對應的樹狀數組C[i](i=1,2,...n)是這樣定義的： 

C1 = A1 
C2 = A1 + A2 
C3 = A3 
C4 = A1 + A2 + A3 + A4 
C5 = A5 
C6 = A5 + A6
C7 = A7 
C8 = A1 + A2 + A3 + A4 + A5 + A6 + A7 + A8 
…… 
C16 = A1 + A2 + A3 + A4 + A5 + A6 + A7 + A8 + A9 + A10 + A11 + A12 + A13 + A14 + A15 + A16 
...... 
 

(1)C[t]展開之後有多少項？由下面公式計算： 

int lowbit(int t){//計算c[t]展開的項數   
   return t&(-t);   
  } 
  
C[t]展開的項數就是lowbit(t),C[t]就是從A[t]開始往左連續求lowbit(t)個數的和. 


(2)修改 
    好比修改了A3,必須修改C3,C4,C8,C16,C32,C64... 
    當咱們修改A[i]的值時，能夠從C[i]往根節點一路上溯，調整這條路上的全部C[]便可，對於節點i，父節點下標 p=i+lowbit(i)  

//給A[i]加上 x後，更新一系列C[j]   
update(int i,int x){    
 while(i<=n){   
    c[i]=c[i]+x;    
    i=i+lowbit(i);    
     }    
}    


(3)求數列A[]的前n項和，只需找到n之前的全部最大子樹，把其根節點的C加起來便可。 

  如：Sun(1)=C[1]=A[1];
      Sun(2)=C[2]=A[1]+A[2];
      Sun(3)=C[3]+C[2]=A[1]+A[2]+A[3];
      Sun(4)=C[4]=A[1]+A[2]+A[3]+A[4];
      Sun(5)=C[5]+C[4];
      Sun(6)=C[6]+C[4];
      Sun(7)=C[7]+C[6]+C[4];
      Sun(8)=C[8];
      ,,,,,,
  
int Sum(int n) //求前n項的和.   
{    
    int sum=0;    
    while(n>0)    
    {    
         sum+=C[n];    
         n=n-lowbit(n);    
    }        
    return sum;    
}  
 
lowbit(1)=1       lowbit(2)=2       lowbit(3)=1      lowbit(4)=4  
 lowbit(5)=1       lowbit(6)=2       lowbit(7)=1      lowbit(8)=8  
 lowbit(9)=1      lowbit(10)=2      lowbit(11)=1      lowbit(12)=4  
lowbit(13)=1      lowbit(14)=2      lowbit(15)=1      lowbit(16)=16  
lowbit(17)=1      lowbit(18)=2      lowbit(19)=1      lowbit(20)=4  
lowbit(21)=1      lowbit(22)=2      lowbit(23)=1      lowbit(24)=8  
lowbit(25)=1      lowbit(26)=2      lowbit(27)=1      lowbit(28)=4  
lowbit(29)=1      lowbit(30)=2      lowbit(31)=1      lowbit(32)=32  
lowbit(33)=1      lowbit(34)=2      lowbit(35)=1      lowbit(36)=4  
lowbit(37)=1      lowbit(38)=2      lowbit(39)=1      lowbit(40)=8  
lowbit(41)=1      lowbit(42)=2      lowbit(43)=1      lowbit(44)=4  
lowbit(45)=1      lowbit(46)=2      lowbit(47)=1      lowbit(48)=16  
lowbit(49)=1      lowbit(50)=2      lowbit(51)=1      lowbit(52)=4  
lowbit(53)=1      lowbit(54)=2      lowbit(55)=1      lowbit(56)=8  
lowbit(57)=1      lowbit(58)=2      lowbit(59)=1      lowbit(60)=4  
lowbit(61)=1      lowbit(62)=2      lowbit(63)=1      lowbit(64)=64
===================================================
2、樹狀數組能夠擴充到二維。 
問題：一個由數字構成的大矩陣，能進行兩種操做 
1) 對矩陣裏的某個數加上一個整數（可正可負） 
2) 查詢某個子矩陣裏全部數字的和,要求對每次查詢，輸出結果。 

一維樹狀數組很容易擴展到二維，在二維狀況下:數組A[][]的樹狀數組定義爲： 

  C[x][y] = ∑ a[i][j], 其中， 
    x-lowbit(x) + 1 <= i <= x, 
    y-lowbit(y) + 1 <= j <= y. 

例：舉個例子來看看C[][]的組成。 
     設原始二維數組爲： 
　 A[][]={{a11,a12,a13,a14,a15,a16,a17,a18,a19}, 
         {a21,a22,a23,a24,a25,a26,a27,a28,a29}, 
         {a31,a32,a33,a34,a35,a36,a37,a38,a39}， 
         {a41,a42,a43,a44,a45,a46,a47,a48,a49}}; 
那麼它對應的二維樹狀數組C[][]呢？ 

記: 
  B[1]={a11,a11+a12,a13,a11+a12+a13+a14,a15,a15+a16,...} 這是第一行的一維樹狀數組 
  B[2]={a21,a21+a22,a23,a21+a22+a23+a24,a25,a25+a26,...} 這是第二行的一維樹狀數組 
  B[3]={a31,a31+a32,a33,a31+a32+a33+a34,a35,a35+a36,...} 這是第三行的一維樹狀數組 
  B[4]={a41,a41+a42,a43,a41+a42+a43+a44,a45,a45+a46,...} 這是第四行的一維樹狀數組 
那麼： 
C[1][1]=a11,C[1][2]=a11+a12,C[1][3]=a13,C[1][4]=a11+a12+a13+a14,c[1][5]=a15,C[1][6]=a15+a16,... 
   這是A[][]第一行的一維樹狀數組 

C[2][1]=a11+a21,C[2][2]=a11+a12+a21+a22,C[2][3]=a13+a23,C[2][4]=a11+a12+a13+a14+a21+a22+a23+a24, 
C[2][5]=a15+a25,C[2][6]=a15+a16+a25+a26,... 
   這是A[][]數組第一行與第二行相加後的樹狀數組 

C[3][1]=a31,C[3][2]=a31+a32,C[3][3]=a33,C[3][4]=a31+a32+a33+a34,C[3][5]=a35,C[3][6]=a35+a36,... 
   這是A[][]第三行的一維樹狀數組 

C[4][1]=a11+a21+a31+a41,C[4][2]=a11+a12+a21+a22+a31+a32+a41+a42,C[4][3]=a13+a23+a33+a43,... 
    這是A[][]數組第一行+第二行+第三行+第四行後的樹狀數組 


搞清楚了二維樹狀數組C[][]的規律了嗎？ 仔細研究一下,會發現: 


（1）在二維狀況下，若是修改了A[i][j]=delta,則對應的二維樹狀數組更新函數爲： 
 private void Modify(int i, int j, int delta){
         
         A[i][j]+=delta;
     
       for(int x = i; x< A.length; x += lowbit(x))
        for(int y = j; y <A[i].length; y += lowbit(y)){
          C[x][y] += delta;
        
        }
     }


（2）在二維狀況下，求子矩陣元素之和∑ a[i][j](前i行和前j列)的函數爲 
    int Sum(int i, int j){
      int result = 0;
      for(int x = i; x > 0; x -= lowbit(x)) {
        for(int y = j; y > 0; y -= lowbit(y)) {
            result += C[x][y];
        }
      }
    return result;
   }
好比：
    Sun(1,1)=C[1][1];  Sun(1,2)=C[1][2]; Sun(1,3)=C[1][3]+C[1][2];...
    Sun(2,1)=C[2][1];  Sun(2,2)=C[2][2]; Sun(2,3)=C[2][3]+C[2][2];...
    Sun(3,1)=C[3][1]+C[2][1]; Sun(3,2)=C[3][2]+C[2][2];

　　

package 二維樹狀數組;

public class MainApp {

    int[][] A;//原二維數組
    int[][] C;//對應的二維樹狀數組
    public MainApp(){   
       A=new int[5][6];
       C=new int[5][6];
      
       for(int i=1;i<5;i++)
         for(int j=1;j<6;j++)
            Modify(i,j,1);//給A[][]每一個元素加1
        for(int i=1;i<5;i++){
          for(int j=1;j<6;j++)
            System.out.print(A[i][j]+"  ");//輸出A[][]
          System.out.println();
        }
       System.out.println(Sum(3,4));//求子二維數組的和
       Modify(2,3,4);//將A[2][3]加4
       System.out.println(Sum(3,4));//顯示修改後的和
       
    }
  
  
  private int lowbit(int t){  
     return t&(-t);   
  }  

  int Sum(int i, int j){
    int result = 0;
    for(int x = i; x > 0; x -= lowbit(x)) {
      for(int y = j; y > 0; y -= lowbit(y)) {
          result += C[x][y];
      }
    }
  return result;
 }
   private void Modify(int i, int j, int delta){
       
       A[i][j]+=delta;
   
     for(int x = i; x< A.length; x += lowbit(x))
      for(int y = j; y <A[i].length; y += lowbit(y)){
        C[x][y] += delta;
      
      }
   }
    
    public static void main(String[] args) {
        MainApp m = new MainApp();
        

    }

}