優先隊列

概念和性質

1. 優先隊列是容許至少下列兩種操做的數據結構：插入（Insert）和刪除最小者（DeleteMin）
2. 實現優先隊列的數據結構叫二叉堆，他有兩個性質，結構性（徹底二叉樹）和堆序性（(min)堆或(max)堆），堆的操做必需要到堆的全部性質都被知足才能終止
3. 堆是一顆被徹底填滿的二叉樹，在樹的底層上的元素從左到右填入的，這樣的樹叫徹底二叉樹。能夠證實一顆高爲\(h\)的徹底二叉樹有\(2^h\)到\(2^{h + 1} - 1\)個節點，他的高爲\(⌊log N⌋\)
4. 能夠用一個數組來表示一個徹底二叉樹，對於數組中任意位置\(i\)上的元素，其左兒子在位置\(2i\)處，右兒子在位置\(2i + 1\)處，它的父親在位置\(⌊i / 2⌋\)處，

數組中的元素		A	B	C	D	E	F	G	H	I	J
數組的下標	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12

• 它的數據結構爲

struct HeapStruct;
typedef struct HeapStruct *PriorityQueue;

struct HeapStruct
{
    int Capacity;
    int Size;
    ElementType *Elements;
}

基本操做

插入

void Insert(ElementType X, PriorityQueue H)
{
    int i;
    if (IsFull(H))
    {
        Error("Priority queue is Full");
        return;
    }
    for (i = ++H->Size; H->Element[i / 2] > X; i /= 2) H->Element[i] = H->Element[i / 2];
    H->Element[i] = X;
}

• 它的策略是先在尾部建立一個空穴，而後與它的父節點比較，若是比它的父節點小，則將父節點的值賦給空穴位置，而後與父節點的父節點比較，這種策略叫作上濾，若是插入的元素是新的最小元素，則它將一直上濾到根的位置，因此插入的最壞情形時間複雜度爲\(\mathrm{O}(log N)\)

這裏還有一個小問題，當\(i = 1\)時程序必須跳出循環，雖說能夠用一個if判斷來跳出，但這裏（書上）使用的方法是在位置0處放一個保證小於堆中的任何值的一個值，避免了每次循環都要執行一次測試，我的感受也是一條思路吧

刪除最小者

ElementType DeleteMin(PriorityQueue H)
{
    int i, Chile;
    ElementType MinElement, LastElement;
    
    if (IsEmpty(H))
    {
        Error("Priority queue is empty")
        return;
    }
    MinElement = H->Elements[1];
    LastElement = H->Elements[H->Size--];

    for (i = 1; i * 2 <= H->Size; i = Child)
    {
        Child = i * 2;
        if (Child != H->Size && H->Elements[Child + 1] < H->Elements[Child]) Child++;
        if (LastElement > H->Elements[Child]) H->Elements[i] = H->Elements[Child];
        else break;
    }
    H->Elements[i] = LastElement;
    return MinElement;
}

• 找到最小元素很簡單，就是根的位置，將其刪除後爲了保持堆的堆序性天然要進行一系列的調整，此時在根的位置上就出現了一個空穴，而且位於堆的最後一個元素\(X\)也必須找到一個合適的位置，因此從根開始，對比它的兒子節點與\(X\)的大小，若是是兒子節點中的某一個更小，則將其放入根處的空穴，此時就又出現了一個空穴，按一樣的方法繼續向下推動，直到\(X\)能夠正確的放入堆中，這個策略叫下濾,算法的最壞情形時間複雜度爲\(\mathrm{O}(log N)\)

這裏須要考慮的一個問題是一個父節點並不老是有兩個兒子節點，因此會有這麼一條判斷if (Child != H->Size && H->Elements[Child + 1] < H->Elements[Child]) Child++;，它有效的保證了不會越界訪問元素而且判斷了兩個子節點的大小（若是有的話）