7.6 最小生成樹

 

生成樹和最小生成樹均是在無向連通圖中進行的。

生成樹：含有連通圖的所有節點n，且含有n-1條邊。一個連通圖能夠有多個生成樹。

最小生成樹：是基於帶權的無向連通圖，根據權值，按必定規則，代價最小的生成樹爲最小生成樹。

找最小生成樹，經典的兩種算法，普利姆算法和克魯斯卡爾算法。

一、普利姆（Prim）算法

        最小生成樹是數據結構中圖的一種重要應用，它的要求是從一個帶權無向徹底圖中選擇n－1條邊並使這個圖仍然連通（也即獲得了一棵生成樹）,同時還要考慮使樹的權最小。 爲了獲得最小生成樹，人們設計了不少算法，最著名的有prim算法和kruskal算法。教材中介紹了prim算法，可是講得不夠詳細，理解起來比較困難，爲了幫助你們更好的理解這一算法，本文對書中的內容做了進一步的細化，但願能對你們有所幫助。

 

        假設V是圖中頂點的 集合，E是圖中邊的集合，TE爲最小生成樹中的邊的集合，則prim算法經過如下步驟能夠獲得最小生成樹：

1：初始化：U={u 0},TE={f}。此步驟設立一個只有結點u 0的結點集U和一個空的邊集TE做爲最小生成樹的初始形態，在隨後的算法執行中，這個形態會不斷的發生變化，直到獲得最小生成樹爲止。

2：在全部u∈U,v∈V－U的邊（u,v）∈E中，找一條權最小的邊（u 0,v 0），將此邊加進集合TE中，並將此邊的非U中頂點加入U中。此步驟的功能是在邊集E中找一條邊，要求這條邊知足如下條件：首先邊的兩個頂點要分別在頂點集合U和V－U中，其次邊的權要最小。找到這條邊之後，把這條邊放到邊集TE中，並把這條邊上不在U中的那個頂點加入到U中。這一步驟在算法中應執行屢次，每執行一次，集合TE和U都將發生變化，分別增長一條邊和一個頂點，所以，TE和U是兩個動態的集合，這一點在理解算法時要密切注意。

3：若是U=V，則算法結束；不然重複步驟2。能夠把本步驟當作循環終止條件。咱們能夠算出當U=V時，步驟2共執行了n－1次（設n爲圖中頂點的數目），TE中也增長了n－1條邊，這n－1條邊就是須要求出的最小生成樹的邊。

二、克魯斯卡爾（Kruskal）算法

        求加權 連通圖的最小生成樹的算法。kruskal 算法每次選擇n- 1條邊，所使用的貪婪準則是：從剩下的邊中選擇一條不會產生 環路的具備最小耗費的邊加入已選擇的邊的集合中。注意到所選取的邊若產生環路則不可能造成一棵生成樹。kruskal算法分e 步，其中e 是網絡中邊的數目。按耗費遞增的順序來考慮這e 條邊，每次考慮一條邊。當考慮某條邊時，若將其加入到已選邊的集合中會出現環路，則將其拋棄，不然，將它選入。

克魯斯卡爾算法

假設 WN=(V,{E}) 是一個含有 n 個頂點的連通網，則按照克魯斯卡爾算法構造 最小生成樹的過程爲：先構造一個只含 n 個頂點，而邊集爲空的子圖，若將該子圖中各個頂點當作是各棵樹上的根結點，則它是一個含有 n 棵樹的一個森林。以後，從網的邊集 E 中選取一條權值最小的邊，若該條邊的兩個頂點分屬不一樣的樹，則將其加入子圖，也就是說，將這兩個頂點分別所在的兩棵樹合成一棵樹；反之，若該條邊的兩個頂點已落在同一棵樹上，則不可取，而應該取下一條權值最小的邊再試之。依次類推，直至森林中只有一棵樹，也即子圖中含有 n-1條邊爲止。

舉例：

克魯斯卡爾算法(Kruskal's algorithm)是兩個經典的最小生成樹算法的較爲簡單理解的一個。這裏面充分體現了貪心算法的精髓。大體的流程能夠用一個圖來表示。這裏的圖的選擇借用了Wikipedia上的那個。很是清晰且直觀。

首先第一步，咱們有一張圖，有若干點和邊

以下圖所示：

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第一步咱們要作的事情就是將全部的邊的長度排序，用排序的結果做爲咱們選擇邊的依據。這裏再次體現了貪心算法的思想。資源排序，對局部最優的資源進行選擇。

排序完成後，咱們率先選擇了邊AD。這樣咱們的圖就變成了

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第二步，在剩下的邊中尋找。咱們找到了CE。這裏邊的權重也是5

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依次類推咱們找到了6,7,7。完成以後，圖變成了這個樣子。

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下一步就是關鍵了。下面選擇那條邊呢？ BC或者EF嗎？都不是，儘管如今長度爲8的邊是最小的未選擇的邊。可是他們已經連通了（對於BC能夠經過CE,EB來鏈接，相似的EF能夠經過EB,BA,AD,DF來接連）。因此咱們不須要選擇他們。相似的BD也已經連通了（這裏上圖的連通線用紅色表示了）。

最後就剩下EG和FG了。固然咱們選擇了EG。最後成功的圖就是下圖：

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到這裏全部的邊點都已經連通了，一個最小生成樹構建完成。

Kruskal算法的時間複雜度由排序算法決定，若採用快排則時間複雜度爲O(N log N)。