PageRank的基本原理以及個性化PageRank在推薦系統的應用

閱讀LBSN中的位置推薦的一些文獻時，遇到了一種用個性化PageRank算法來進行位置推薦的算法，雖然以前也大體瞭解過PageRank算法，但不細緻，此次特地作一個整理總結。

PageRank算法

1、什麼是PageRank

PageRank，中文通常叫佩奇排名或網頁排名，是利用網頁簡單的超連接來計算網頁的分值，從而給網頁進行排名的一種算法，以Google公司創辦人Larry Page之姓來命名。Google用它來體現網頁的相關性和重要性，在搜索引擎優化操做中是常常被用來評估網頁優化的成效因素之一。

它的思想是模擬一個清閒的上網者，上網者首先隨機選擇一個網頁打開，而後在這個網頁上呆了幾分鐘後，跳轉到該網頁所指向的連接，這樣無所事事、漫無目的地在網頁上跳來跳去，PageRank就是估計這個清閒的上網者分佈在各個網頁上的機率。

2、簡單的PageRank模型

互聯網的網頁能夠看做是一個有向圖，其中網頁是結點，若是網頁A有連接到網頁B，則存在一條有向邊A-->B，下面是一個簡單的示例：

這個簡單的網絡中只有四個網頁，若是當前在A網頁，因爲A有3條出鏈，則上網者將會各以1/3的機率跳轉到B、C和D。因此若是一個網頁有$k$條出鏈，那麼該網頁跳轉到任意一個出鏈上的機率時1/k，同理D到B、C的機率各爲1/2，而B到C的機率爲0 。訪問一個網頁的機率由連接到它的全部網頁的機率來決定，例如網頁A由B、C兩個網頁連接，則：

$$ P(A)=P(C)+\frac{P(B)}{2} $$

每一個網頁的訪問機率能夠用一個向量進行表示，則全部網頁的跳轉機率能夠用戶一個用轉移矩陣來表示，當一個網絡中有n個網頁結點時，則轉移矩陣M是一個$n\times n$的方陣。所以上面示例圖對應的轉移矩陣以下：

初始時，假設上網者在每個網頁的機率都是相等的，即$\frac{1}{n}$，因而初始的機率分佈就是一個全部值都爲1/n的n維列向量$V_0$，用$V_0$去右乘轉移矩陣，就能夠獲得下一步對每一個網頁的訪問機率$V_1$：

以後的過程就是一個不斷的迭代過程，用獲得的網頁訪問機率去右乘轉移矩陣，直到達到一個收斂的狀態。能夠發現，這是一個馬爾科夫過程，即當前的狀態僅由它前一個狀態來決定。

3、終止點問題

咱們知道，要知足馬爾科夫過程的收斂性，須要具有一個條件，即圖要是強連通的。

而互聯網上的網頁不知足強連通的特性，由於有一些網頁不指向任何網頁，因此當上網者到達這類網頁時，他將無法跳轉到其餘的網頁，所以一直迭代下去，會致使全部網頁的訪問機率都爲0；

如上所示，網頁C不指向任何一個網頁，其對應的轉移矩陣爲：

用初始的訪問機率右乘轉移矩陣，而後一直迭代下去，則最終全部的訪問機率都變爲0：

4、 陷阱問題

另一個問題是陷阱問題，即有些網頁不存在指向其餘網頁的連接，但存在指向本身的連接，如圖所示：

咱們能夠發現，當上網者跑到C網頁後，就像跳進了陷阱，不再能從C中出來了，這將致使機率分佈值所有轉移到C網頁上來，其對應的轉移矩陣爲：

用初始的訪問機率右乘轉移矩陣，而後一直迭代下去，則全部的機率都會轉移到網頁C：

5、 解決終止點問題和陷阱問題

上述的問題只是特殊的狀況，爲了更好的理解PageRank算法的原理而已。實際上Google提出的PageRank算法分爲兩部分，另外一部分是由必定的機率跳轉到一個隨機的網頁，這樣就能避免終止點問題和陷阱問題。

其中$\alpha$通常取爲0.85，如今咱們來計算帶陷阱問題的網絡的機率分佈：

重複迭代下去，獲得：

6、複雜度問題

上述的網絡只有四個結點，直接用矩陣乘法進行是十分快捷的。可是真實的網絡中有上千萬個網頁結點，若是仍是直接用矩陣乘法進行計算，時間複雜度就過高了。所以不少有關PageRank算法的博客都提到了Map-Reduce的計算，這裏後續進行補充...

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個性化PageRank算法

個性化PageRank算法的目標是要計算全部節點相對於用戶u的相關度。從用戶u對應的節點開始遊走，每到一個節點都以1-d的機率中止遊走並從u從新開始，或者以d的機率繼續遊走，從當前節點指向的節點中按照均勻分佈隨機選擇一個節點往下游走。這樣通過不少輪遊走以後，每一個頂點被訪問到的機率也會收斂趨於穩定，這個時候咱們就能夠用機率來進行排名了。

個性化PageRank的計算能夠用bookmark-coloring算法，參考文獻[2]

具體的算法原理後期補充...

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參考內容：

1. http://blog.jobbole.com/71431/
2. Bookmark-coloring algorithm for personalized PageRank.