數論-最小公倍數、整數的惟一分解定理、一次不定方程

最小公倍數

定義：a1,...an(n≥2)，m 爲a1,...an的公倍數，[a1,a2,...an]表明爲a1,...an的最小公倍數

用數學公式表示爲如下：

①ai|[a1,a2,...an],i≤1≤n

②∀m,a1|m,a2|m,...an|m(m>=1),且m>=[a1,a2,...,an]

定理一：若a|m,b|m,則[a,b]|m

定理二：[a,b]=a*b/(a,b)

證實：設m=[a,b]*q+r,0≤r<[a,b]

　　∵a|m,∴a|[a,b]

　　∴a|r

　　同理可得，b|r,故[a,b]|r

　　若r>=1,則[a,b](最小公倍數)<=r(公倍數)

　　∵r<[a,b]，結論與實際相矛盾，故假設不成立，故r=0

又∵a=((a*b)/[a,b])*([a,b]/b)，故(a*b/[a,b])|a

同理可證(a*b/[a,b])|b

即(a*b/[a,b]) | (a,b)

得： a*b/[a,b]<=(a,b) 。。。①

又∵a*b/[a,b]=a*(b/[a,b])，故a|(a*b/[a,b])

同理可知，b|(a*b/[a,b]),即(a,b)|(a*b/[a,b])

故(a,b)<=(a*b/[a,b])。。。②

結合①和②可知，[a,b]=a*b/(a,b)

得證

定理二：設a1,a2,...,an(∈Z),n>=2，則[a1,a2,...an]=mn

證實：

[a1,a2]=m2,[m2,a3]=m3

故a1|m2,a2|m2  , m2|m3,a3|m3

∴a1|m3,a2|m3,a3|m3

故[a1,a2,a3]|m3

設a1|m,a2|m,a3|m，即m爲a1,a2,a3的倍數

∵[a1,a2]=m2，故m2|m

∵[m2,a3]=m3，故m3|m

即m3<=m

故m3爲公倍數中的最小值，以次類推至n種狀況，得證

整數的惟一分解定理

素數定義：∀d∈Z+,d|P

合數定義：∃d,d1,1<d<C,1<d1<C,C=d*d1

引理1：若a∈Z,a≥2,q是a中≥2的最小因子，則q是素數，當a時合數時，q≤根號a

證實：

①假設q爲合數，則q=d*d1,∴2≤d,d1<q

∴d|q又∵q|a,故d|a->d爲a的因子且d<q,故此時q就不是a的最小因子，與q最小相矛盾，假設不成立

因此d爲素數

②若a爲合數，則a=q*q1

∵q<=q1

故q*q<=q*q1

即q*q<=a

因此q<根號a

引理2：若p爲素數，∀a∈Z,則p|a或(p,a)=1(整數與素數之間的關係)

引理3：若p爲素數，p|a*b,則p|a或p|b

定理：∀a=2，∃p1≤p2≤...≤pn(pi均爲素數)，使得a=p1*p2*...*pn,且若q1≤q2≤...≤qn是素數，且a=q1*q2*...*qm，則m=n,qi=pi(知足這樣的素數惟一)

一次不定方程

二元不定方程：

a1*x+a2*y=n   (a1,a2≠0)   ①

定理1：①有解，當且僅當(a1,a2) | n

定理2：若(a1,a2)=1,則①的所有解爲

x=x0+a2*t

y=y0-a1*t,其中x0,y0是①的一組解(t∈Z)