海盜分寶

5個海盜搶到了100顆寶石，每一顆都同樣的大小和價值連城。

他們決定這麼分：

一、抽籤決定本身的號碼（一、二、三、四、5）

二、首先，由1號提出分配方案，而後你們1人進行表決，當且僅當半數和超過半數的人贊成時，按照他的提案進行分配，不然將被扔入大海喂鯊魚。

三、若是1號死後，再由2號提出分配方案，而後你們3人進行表決，當且僅當半數和超過半數的人贊成時，按照他的提案進行分配，不然將被扔入大海喂鯊魚。

四、以此類推。。。。。。

條件：

每一個海盜都是很聰明的人，都能很理智地判斷得失，從而作出選擇。

問題：

第一個海盜提出怎樣的分配方案纔可以使本身的收益最大化？

轉貼著名數學家和經濟學家，加利福尼亞州帕洛阿爾託的Stephen M. Omohundro在1998年的解答

數學的邏輯有時會致使看來十分怪異的結論。通常的規則是，若是邏輯推理沒有漏洞，那麼結論就 一定站得住腳，即便它與你的直覺矛盾。 1998年9月，加利福尼亞州帕洛阿爾託的Stephen M. Omohundro寄給我一道難題，它剛好就屬於這一類。這難題已經流傳了至少十年，可是Omohundro對它做了改動，使它的邏輯問題變得分外複雜 了。

　　先來看看此難題原先的形狀。10名海盜搶得了窖藏的100塊金子，並打算瓜分這些戰利 品。這是一些講民主的海盜（固然是他們本身特有的民主），他們的習慣是按下面的方式進行分配：最厲害的一名海盜提出分配方案，而後全部的海盜（包括提出方 案者本人）就 此方案進行表決。若是50%或更多的海盜贊同此方案，此方案就得到經過並據此分配戰利品。不然提出方案的海盜將被扔到海里，而後下提名最厲害的海盜又重複 上述過程。

　　全部的海盜都樂於看到他們的一位同夥被扔進海里，不過，若是讓他們選擇的話，他們仍是寧 可得一筆現金。他們固然也不肯意本身被扔到海里。全部的海盜都是有理性的，並且知道其餘的海盜也是有理性的。此外，沒有兩名海盜是同等厲害的——這些海盜 按照徹底由 上到下的等級排好了座次，而且每一個人都清楚本身和其餘全部人的等級。這些金塊不能再分，也不容許幾名海盜共有金塊，由於任何海盜都不相信他的同夥會遵照關 於共享金塊的安排。這是一夥每人都只爲本身打算的海盜。最兇的一名海盜應當提出什麼樣的分配方案才能使 他得到最多的金子呢？

　　爲方便起見，咱們按照這些海盜的怯懦程度來給他們編號。最怯懦的海盜爲1號海盜，次怯懦的海盜爲2號海盜，如此類推。這樣最厲害的海盜就應當獲得最大的編號，而方案的提出就將倒過來從上至下地進行。

　　分析全部這類策略遊戲的奧妙就在於應當從結尾出發倒推回去。遊戲結束時，你容易知道何種 決策有利而何種決策不利。肯定了這一點後，你就能夠把它用到倒數第2次決策上，如此類推。若是從遊戲的開頭出發進行分析，那是走不了多遠的。其緣由在於， 全部的戰略 決策都是要肯定：「若是我這樣作，那麼下一我的會怎樣作？」

　　所以在你如下海盜所作的決定對你來講是重要的，而在你以前的海盜所作的決定並不重要，由於你反正對這些決定也無能爲力了。

　　記住了這一點，就能夠知道咱們的出發點應當是遊戲進行到只剩兩名海盜——即1號和2號 ——的時候。這時最厲害的海盜是2號，而他的最佳分配方案是一目瞭然的：100塊金子全歸他一人全部，1號海盜什麼也得不到。因爲他本身確定爲這個方案投 同意票，這樣 就佔了總數的50%，所以方案得到經過。

　　如今加上3號海盜。1號海盜知道，若是3號的方案被否決，那麼最後將只剩2個海盜，而1 號將確定一無所得——此外，3號也明白1號瞭解這一形勢。所以，只要3號的分配方案給1號一點甜頭使他不至於空手而歸，那麼不論3號提出什麼樣的分配方 案，1號都將 投同意票。所以3號須要分出儘量少的一點金子來賄賂1號海盜，這樣就有了下面的分配方案： 3號海盜分得99塊金子，2號海盜一無所得，1號海盜得1塊金子。

　　4號海盜的策略也差很少。他須要有50%的支持票，所以同3號同樣也需再找一人作同黨。 他能夠給同黨的最低賄賂是1塊金子，而他能夠用這塊金子來收買2號海盜。由於若是4號被否決而3號得以經過，則2號將一文不名。所以，4號的分配方案應 是：99塊金 子歸本身，3號一塊也得不到，2號得1塊金子，1號也是一塊也得不到。

　　5號海盜的策略稍有不一樣。他須要收買另兩名海盜，所以至少得用2塊金子來賄賂，才能使本身的方案獲得採納。他的分配方案應該是：98塊金子歸本身，1塊金子給3號，1塊金子給1號。

　　這一分析過程能夠照着上述思路繼續進行下去。每一個分配方案都是惟一肯定的，它可使提出 該方案的海盜得到儘量多的金子，同時又保證該方案確定能經過。照這一模式進行下去，10號海盜提出的方案將是96塊金子歸他全部，其餘編號爲偶數的海盜 各得1塊金 子，而編號爲奇數的海盜則什麼也得不到。這就解決了10名海盜的分配難題。

　　Omohundro的貢獻是他把這一問題擴大到有500名海盜的情形，即500名海盜瓜 分100塊金子。顯然，相似的規律依然成立——至少是在必定範圍內成立。事實上，前面所述的規律直到第200號海盜都成立。 200號海盜的方案將是：從1到199號的全部奇數號的海盜都將一無所得，而從2到198號的全部偶數號海盜將各得1塊金子，剩下的1塊金子歸200號海 盜本身全部。

　　乍看起來，這一論證方法到200號以後將再也不適用了，由於201號拿不出更多的金子來收買其餘海盜。可是即便分不到金子，201號至少還但願本身不會被扔進海里，所以他能夠這樣分配：給1到199號的全部奇數號海盜每人1塊金子，本身一塊也不要。

　　202號海盜一樣別無選擇，只能一塊金子都不要了——他必須把這100塊金子所有用來收買100名海盜，並且這100名海盜還必須是那些按照201號方案將一無所得的人。因爲這樣的海盜有101名，所以202號的方案將再也不是惟一的——賄賂方案有10 1種。

　　203號海盜必須得到102張同意票，但他顯然沒有足夠的金子去收買101名同夥。因 此，不管提出什麼樣的分配方案，他都註定會被扔到海里去餵魚。不過，儘管203號命中註定死路一條，但並非說他在遊戲進程中不起任何做用。相反，204 號如今知道， 203號爲了能保住性命，就必須避免由他本身來提出分配方案這麼一種局面，因此不管204號海盜提出什麼樣的方案，203號都必定會投同意票。這樣204 號海盜總算僥倖揀到一條命：他能夠獲得他本身的1票、203號的1票、以及另外100名收買的海盜的贊 成票，恰好達到保命所需的50%。得到金子的海盜，必屬於根據202號方案確定將一無所得的那101名海盜之列。

　　205號海盜的命運又如何呢？他可沒有這樣走運了。他不能期望203號和204號支持他 的方案，由於若是他們投票反對205號方案，就能夠幸災樂禍地看到205號被扔到海里去餵魚，而他們本身的性命卻仍然可以保全。這樣，不管205號海盜提 出什麼方案 都必死無疑。206號海盜也是如此——他確定能夠獲得205號的支持，但這不足以救他一命。相似地，207號海盜須要104張同意票——除了他收買的 100張同意票以及他本身的1張同意票以外，他還需3張同意票才能免於一死。他能夠得到205號和206號 的支持，但還差一張票倒是不管如何也弄不到了，所以207號海盜的命運也是下海餵魚。

　　208號又時來運轉了。他須要104張同意票，而20五、20六、207號都會支持他， 加上他本身一票及收買的100票，他得以過關保命。得到他賄賂的必屬於那些根據204號方案確定將一無所得的人（候選人包括2到200號中全部偶數號的海 盜、以及2 0一、20三、204號）。

　　如今能夠看出一條新的、此後將一直有效的規律：那些方案能過關的海盜（他們的分配方案全 都是把金子用來收買100名同夥而本身一點都得不到）相隔的距離愈來愈遠，而在他們之間的海盜則不管提什麼樣的方案都會被扔進海里——所以爲了保命，他們 必會投票支 持比他們厲害的海盜提出的任何分配方案。得以免葬身魚腹的海盜包括20一、20二、20四、20八、21六、23二、26四、32八、456號，即其號 碼等於200加2的某一方冪的海盜。

　　如今咱們來看看哪些海盜是得到賄賂的幸運兒。分配賄賂的方法是不惟一的，其中一種方法是 讓201號海盜把賄賂分給1到199號的全部奇數編號的海盜，讓202號分給2到200號的全部偶數編號的海盜，而後是讓204號賄賂奇數編號的海盜， 208號賄賂 偶數編號的海盜，如此類推，也就是輪流賄賂奇數編號和偶數編號的海盜。

　　結論是：當500名海盜運用最優策略來瓜分金子時，頭44名海盜必死無疑，而456號海 盜則給從1到199號中全部奇數編號的海盜每人分1塊金子，問題就解決了。因爲這些海盜所實行的那種民主制度，他們的事情就搞成了最厲害的一批海盜多半都 是下海餵魚 ，不過有時他們也會以爲本身很幸運——雖然分不到搶來的金子，但總能夠免於一死。只有最怯懦的200名海盜有可能分得一份髒物，而他們之中又只有一半的人 能真正獲得一塊金子，的確是怯懦者繼承財富。