Leetcode：96. 不一樣的二叉搜索樹

Leetcode：96. 不一樣的二叉搜索樹

Leetcode：96. 不一樣的二叉搜索樹

題目在連接中，點進去看看吧！

先介紹一個名詞：卡特蘭數

卡特蘭數

卡特蘭數Cn知足如下遞推關係：
\[ C_{n+1}=C_0C_n+C_1C_{n-1}+...+C_nC_0 \]
有興趣的同窗點擊這裏查看亞特蘭數的百度百科

很巧的是，這道題能夠利用亞特蘭數計算出有多少個不一樣的BST。

Don't talk,show me code!

class Solution {
public:
    int numTrees(int n) {
        vector<int> dp(n+2);
        dp[0]=1;
        for(int i=1;i<=n;i++){
            int temp=i-1;
            while(temp>=0){
                dp[i]+=dp[temp]*dp[i-temp-1];
                temp--;
            }  
        }
        return dp[n];
    }
};

簡單分析

這道題利用的是動態規劃的思想，遞推得出一個dp數組。在找規律的過程當中，咱們意外發現這道題的答案與亞特蘭數的數學遞推式和dp方程徹底一致！

前提條件：這是一顆BST樹，中序遍歷得出的排列等於其升序排列

1. 首先，當結點數爲0時，樹的個數爲1

2. 分析當結點數爲1時：

   1. 取1爲根節點，則左子樹的結點數爲0，右子樹的結點數爲0
   2. 所以結點數爲1的左右子樹狀況爲\(1*1=1\)

3. 分析當結點數爲2時：

   1. 取1爲根節點，則左子樹的結點數爲0，右子樹的結點數爲1
   2. 所以1根節點全部可能出現的樹狀況爲\(1*1=1\)
   3. 取2爲根節點，則左子樹的結點數爲1，右子樹的結點數爲0
   4. 所以2根節點全部可能出現的樹狀況爲\(1*1=1\)
   5. 所以結點數爲2的左右子樹狀況爲\(1+1=2\)

4. 分析當結點數爲3時：

   1. 取1爲根節點，則左子樹的結點數爲0，右子樹的結點數爲2
   2. 所以1根節點全部可能出現的樹狀況爲\(1*2=2\)
   3. 取2爲根節點，則左子樹的結點數爲1，右子樹的結點數爲1
   4. 所以2根節點全部可能出現的樹狀況爲\(1*1=1\)
   5. 取2爲根節點，則左子樹的結點數爲2，右子樹的結點數爲0
   6. 所以3根節點全部可能出現的樹狀況爲\(2*1=2\)
   7. 所以結點數爲3的左右子樹狀況爲\(1+2+1=5\)

5. 有興趣能夠繼續遞推，總之總結規律：
   \[ dp[k]=\sum_0^{k-1} dp[i]*dp[k-i-1] \]

6. 而後就是編程實現啦~