在定義卷積時爲何要對其中一個函數進行翻轉

在卷積的定義中爲何函數g(τ)要先翻轉爲g(-τ)再平移爲g(x-τ)而不是直接記做g(τ-x)這樣作有什麼好處麼？

我知道問一個概念的定義就好像問"媽媽"爲何要叫"媽媽"同樣。但我始終以爲這樣的定義有些彆扭。想知道這樣作背後的意義。

不要試圖直接從公式上去思考"翻轉"的意義，回到問題的起源，你就會豁然開朗了。

打個比方，往平靜的水面裏面扔石頭。咱們把水面的反應看做是一種衝擊響應。水面在t=0時刻石頭丟進去的時候會激起高度爲h(0)的波紋，但水面不會立馬歸於平靜，隨着時間的流逝，波紋幅度會愈來愈小，在t=1時刻，幅度衰減爲h(1), 在t=2時刻，幅度衰減爲h(2)……直到一段時間後，水面重複歸於平靜。

從時間軸上來看，咱們只在t=0時刻丟了一塊石頭，其它時刻並無作任何事，但在t=1,2….時刻，水面是不平靜的，這是由於過去（t=0時刻）的做用一直持續到了如今。

那麼，問題來了：

若是咱們在t=1時刻也丟入一塊石子呢？此時t=0時刻的影響尚未消失（水面尚未恢復平靜）新的石子又丟進來了，那麼如今激起的波浪有多高呢？答案是當前激起的波浪與t=0時刻殘餘的影響的疊加。那麼t=0時刻對t=1時刻的殘餘影響有多大呢？

爲了便於說明，接下來咱們做一下兩個假設：

1． 水面對於"單位石塊"的響應是固定的

2． 丟一個兩倍於的"單位石塊"的石塊激起的波紋高度是丟一個石塊的兩倍（即系統知足線性疊加原理）

如今咱們來計算每一時刻的波浪有多高：

• t=0時刻：

y(0)=x(0)*h(0);

• t=1時刻：

當前石塊引發的影響x(1)*h(0);

t=0時刻石塊x(0)引發的殘餘影響x(0)*h(1);

y(1)=x(1)*h(0)+ x(0)*h(1);

• t=2時刻：

當前石塊引發的影響x(2)*h(0);

t=0時刻石塊x(0)引發的殘餘影響x(0)*h(2);

t=1時刻石塊x(1)引發的殘餘影響x(1)*h(1);

y(2)=x(2)*h(0)+ x(1)*h(1)+x(0)*h(2);

……

• t=N時刻：

當前石塊引發的影響x(N)*h(0);

t=0時刻石塊x(0)引發的殘餘影響x(0)*h(N);

t=1時刻石塊x(1)引發的殘餘影響x(1)*h(N-1);

y(N)=x(N)*h(0)+ x(N-1)*h(1)+x(N-2)*h(2)+…+x(0)*h(N);

這就是離散卷積的公式了

理解了上面的問題，下面咱們來看看"翻轉"是怎麼回事：

當咱們每次要丟石子時，站在當前的時間點，系統的對咱們的迴應都是h(0),時間軸以後的（h(1),h(2).....）都是對將來的影響。而總體的迴應要加上過去對於如今的殘餘影響。

如今咱們來觀察t=4這個時刻。

站在t=0時刻看他對於將來（t=4）時刻(從如今日後4秒)的影響，可見是x(0)*h(4)

站在t=1時刻看他對於將來（t=4）時刻的影響(從如今日後3秒)，可見是x(1)*h(3)

站在t=2時刻看他對於將來（t=4）時刻的影響(從如今日後2秒)，可見是x(2)*h(2)

站在t=3時刻看他對於將來（t=4）時刻的影響(從如今日後1秒)，可見是x(3)*h(1)

因此所謂的翻轉只是由於你站立的如今是過去的將來，而由於h(t)始終不變，故h(1)實際上是前一秒的h(1)，而前一秒的h(1)就是如今，因此從當前x(4)的角度往左看，你看到的是過去的做用。h(t)未翻轉前，當從h(0)往右看，你看到的是如今對於將來的影響，當翻轉h(t)以後，從h(0)往左看，你依次看到的愈來愈遠的過去對如今的影響，而這個影響，與從x=4向左看的做用影響相對應（都是愈來愈遠的過去），做用與做用的響應就對應起來了，這一切的本質，是由於你站立的時間觀察點和方向在變。