數學、邏輯與計算機科學的關係

數學、邏輯與計算機科學的關係

數學、邏輯是與計算機科學密不可分的。數學是基礎材料，邏輯是支柱，計算機科學是大廈。

首先，是數學與邏輯的關係。

數學基礎的討論主要在19世紀末20世紀初，當時對數學的見解有許多流派，其中一派是邏輯主義學派，認爲數學能夠徹底由邏輯獲得。但後來數理邏輯中的一些深入結果則否認了這種觀點。事實上，數學不能徹底由邏輯獲得，即，若是要求數學是無矛盾的，那麼，它就不多是完備的。

如今對數學見解的主流是源於Hilbert的形式主義數學的觀點。粗略地說，就是公理化的觀點。也就是說，人們能夠從實際出發（也能夠從空想出發），給出一組無矛盾、很少餘的公理，這種公理系統下就造成一種數學。在創建公理之後的事情則屬於邏輯。

因此，邏輯是數學的重要方法和基礎，但不是數學的所有。反過來，數學也不包括邏輯的所有。邏輯學主要是（至少曾經是）哲學的一支，它不只研究邏輯命題的推演關係，也研究這種關係爲何是對的，等等。邏輯學中影響數學的主要是形式邏輯和數理邏輯，但涉及哲學思辨的部分就不在數學的範疇之中了。

其次，是數學與計算機的關係。

由於計算機是一種進行數值計算、邏輯推理、符號處理等方面信息加工的機器，有人就稱它爲數學的機器;近年因爲計算機應用的拓廣，其系統軟件與應用軟件發展很大，吸引了甚爲巨大的社會人力與財力，造成了一種新興的工業，人們認爲這是繼土木工程，機械工程、電子工程以後的一種新的工程—軟件工程。因爲它具備數學的特徵，即高度的精確性，普遍的應用性，與推理的嚴謹可靠性。所以，計算機科學被稱程序爲具備數學性質的學科。

計算機科學是對計算機體系，軟件和應用進行探索性、理論性研究的技術科學。因爲計算機與數學有其特殊的關係，故計算機科學一直在不斷地從數學的概念、方法和理論中吸收養分;反過來，計算機科學的發展也爲數學研究提供新的問題、領域、方法和工具。近年來很多人討論過數學與計算機科學的關係問題，都強調其間的密切聯繫。同時，人們也都認可，計算機科學仍有其本身的特性，它並不是數學的一個分支，而有自身的獨立性。正確說法應該是:因爲計算機及程序的特殊性，計算機科學是與數學有特殊關係的一門新興的技術科學。這種特殊關係使得計算機科學與數學之間有一公共的交界領域，它範圍至關廣，內容至關豐富，很富有生命力。這一領域既是理論計算機科學的一部分，也是應用數學的一部分。這裏只准備若干主要方面說明一些基本事實，不討論有關計算機的工程技術問題。

再次，是邏輯與計算機科學的關係。

計算機科學裏的邏輯主要指的是數理邏輯。數理邏輯又稱符號邏輯、理論邏輯。它既是數學的一個分支，也是邏輯學的一個分支。是用數學方法研究邏輯或形式邏輯的學科。其研究對象是對證實和計算這兩個直觀概念進行符號化之後的形式系統。數理邏輯是數學基礎的一個不可缺乏的組成部分。雖然名稱中有邏輯兩字，但並不屬於單純邏輯學範疇。

所謂數學方法就是指數學採用的通常方法，包括使用符號和公式，已有的數學成果和方法，特別是使用形式的公理方法。用數學的方法研究邏輯的系統思想通常追溯到萊布尼茨，他認爲經典的傳統邏輯必須數理邏輯改造和發展，是之更爲精確和便於演算。後人基本是沿着萊布尼茨的思想進行工做的。簡而言之，數理邏輯就是精確化、數學化的形式邏輯。它是現代計算機技術的基礎。新的時代將是數學大發展的時代，而數理邏輯在其中將會起到很關鍵的做用。

數理邏輯的主要分支包括：邏輯演算(包括命題演算和謂詞演算)、模型論、證實論、遞歸論和公理化集合論。數理邏輯和計算機科學有許多重合之處，二者都屬於模擬人類認知機理的科學。許多計算機科學的先驅者既是數學家、又是邏輯學家，如阿蘭·圖靈、邱奇等。程序語言學、語義學的研究從模型論衍生而來，而程序驗證則從模型論的模型檢測衍生而來。

柯里——霍華德同構給出了「證實」和「程序」的等價性，這一結果與證實論有關，直覺邏輯和線性邏輯在此起了很大做用。λ演算和組合子邏輯這樣的演算如今屬於理想程序語言。計算機科學在自動驗證和自動尋找證實等技巧方面的成果對邏輯研究作出了貢獻，好比說自動定理證實和邏輯編程。

當邏輯代數的邏輯狀態多於2種時（如0、一、2或更多狀態時），其通用模型的基本邏輯有2個。一個是從一種狀態變爲另外一種狀態的邏輯，是一個一元邏輯；另一種是兩種狀態中按照某種規則（好比比較大小）有傾向性的選擇出其中一種狀態的邏輯，這是一個二元邏輯。依據這兩種邏輯，能夠表達任意多狀態的任意邏輯關係，即最小表達式。即任意多狀態的邏輯是完備的。當邏輯狀態數擴展有理數量級甚至更多。任意數學運算均可以用兩個運算關係來聯合表達：加減法和比較大小。

總而言之，數學、邏輯與計算機科學這三者是相輔相成、密不可分的，只有充分理解三者的關係，將這三者有機的結合起來，計算機領域的在將來發展才會有更新的突破，才能將人類帶向更美好的生活。

（轉自百度文庫）