最短路徑-Dijkstra算法和Floyd算法

Dijkstra算法

1.定義概覽

Dijkstra(迪傑斯特拉)算法是典型的單源最短路徑算法，用於計算一個節點到其餘全部節點的最短路徑。主要特色是以起始點爲中心向外層層擴展，直到擴展到終點爲止。Dijkstra算法是頗有表明性的最短路徑算法，在不少專業課程中都做爲基本內容有詳細的介紹，如數據結構，圖論，運籌學等等。注意該算法要求圖中不存在負權邊。

問題描述：在無向圖 G=(V,E) 中，假設每條邊 E[i] 的長度爲 w[i]，找到由頂點 V0 到其他各點的最短路徑。（單源最短路徑）

 

2.算法描述

1)算法思想：設G=(V,E)是一個帶權有向圖，把圖中頂點集合V分紅兩組，第一組爲已求出最短路徑的頂點集合（用S表示，初始時S中只有一個源點，之後每求得一條最短路徑 , 就將加入到集合S中，直到所有頂點都加入到S中，算法就結束了），第二組爲其他未肯定最短路徑的頂點集合（用U表示），按最短路徑長度的遞增次序依次把第二組的頂點加入S中。在加入的過程當中，總保持從源點v到S中各頂點的最短路徑長度不大於從源點v到U中任何頂點的最短路徑長度。此外，每一個頂點對應一個距離，S中的頂點的距離就是從v到此頂點的最短路徑長度，U中的頂點的距離，是從v到此頂點只包括S中的頂點爲中間頂點的當前最短路徑長度。

2)算法步驟：

a.初始時，S只包含源點，即S＝{v}，v的距離爲0。U包含除v外的其餘頂點，即:U={其他頂點}，若v與U中頂點u有邊，則<u,v>正常有權值，若u不是v的出邊鄰接點，則<u,v>權值爲∞。

b.從U中選取一個距離v最小的頂點k，把k，加入S中（該選定的距離就是v到k的最短路徑長度）。

c.以k爲新考慮的中間點，修改U中各頂點的距離；若從源點v到頂點u的距離（通過頂點k）比原來距離（不通過頂點k）短，則修改頂點u的距離值，修改後的距離值的頂點k的距離加上邊上的權。

d.重複步驟b和c直到全部頂點都包含在S中。

 

執行動畫過程以下圖

 

3.算法代碼實現：

const int  MAXINT = 32767;
const int MAXNUM = 10;
int dist[MAXNUM];
int prev[MAXNUM];

int A[MAXUNM][MAXNUM];

void Dijkstra(int v0)
{
  　　bool S[MAXNUM];                                  // 判斷是否已存入該點到S集合中
      int n=MAXNUM;
  　　for(int i=1; i<=n; ++i)
 　　 {
      　　dist[i] = A[v0][i];
      　　S[i] = false;                                // 初始都未用過該點
      　　if(dist[i] == MAXINT)    
            　　prev[i] = -1;
 　　     else 
            　　prev[i] = v0;
   　　}
   　 dist[v0] = 0;
   　 S[v0] = true; 　　
 　　 for(int i=2; i<=n; i++)
 　　 {
       　　int mindist = MAXINT;
       　　int u = v0; 　　                            // 找出當前未使用的點j的dist[j]最小值
      　　 for(int j=1; j<=n; ++j)
      　　    if((!S[j]) && dist[j]<mindist)
      　　    {
         　　       u = j;                             // u保存當前鄰接點中距離最小的點的號碼 
         　 　      mindist = dist[j];
       　　   }
       　　S[u] = true; 
       　　for(int j=1; j<=n; j++)
       　　    if((!S[j]) && A[u][j]<MAXINT)
       　　    {
           　    　if(dist[u] + A[u][j] < dist[j])     //在經過新加入的u點路徑找到離v0點更短的路徑  
           　    　{
                   　　dist[j] = dist[u] + A[u][j];    //更新dist 
                   　　prev[j] = u;                    //記錄前驅頂點 
            　　    }
        　    　}
   　　}
}

4.算法實例

先給出一個無向圖

用Dijkstra算法找出以A爲起點的單源最短路徑步驟以下

 

Floyd算法

1.定義概覽

Floyd-Warshall算法（Floyd-Warshall algorithm）是解決任意兩點間的最短路徑的一種算法，能夠正確處理有向圖或負權的最短路徑問題，同時也被用於計算有向圖的傳遞閉包。Floyd-Warshall算法的時間複雜度爲O(N³)，空間複雜度爲O(N²)。

 

2.算法描述

1)算法思想原理：

     Floyd算法是一個經典的動態規劃算法。用通俗的語言來描述的話，首先咱們的目標是尋找從點i到點j的最短路徑。從動態規劃的角度看問題，咱們須要爲這個目標從新作一個詮釋（這個詮釋正是動態規劃最富創造力的精華所在）

      從任意節點i到任意節點j的最短路徑不外乎2種可能，1是直接從i到j，2是從i通過若干個節點k到j。因此，咱們假設Dis(i,j)爲節點u到節點v的最短路徑的距離，對於每個節點k，咱們檢查Dis(i,k) + Dis(k,j) < Dis(i,j)是否成立，若是成立，證實從i到k再到j的路徑比i直接到j的路徑短，咱們便設置Dis(i,j) = Dis(i,k) + Dis(k,j)，這樣一來，當咱們遍歷完全部節點k，Dis(i,j)中記錄的即是i到j的最短路徑的距離。

2).算法描述：

a.從任意一條單邊路徑開始。全部兩點之間的距離是邊的權，若是兩點之間沒有邊相連，則權爲無窮大。 　　

b.對於每一對頂點 u 和 v，看看是否存在一個頂點 w 使得從 u 到 w 再到 v 比己知的路徑更短。若是是更新它。

3).Floyd算法過程矩陣的計算----十字交叉法

方法：兩條線，從左上角開始計算一直到右下角 以下所示

給出矩陣，其中矩陣A是鄰接矩陣，而矩陣Path記錄u,v兩點之間最短路徑所必須通過的點

相應計算方法以下：

最後A₃即爲所求結果

 

3.算法代碼實現

typedef struct          
{        
    char vertex[VertexNum];                                //頂點表         
    int edges[VertexNum][VertexNum];                       //鄰接矩陣,可看作邊表         
    int n,e;                                               //圖中當前的頂點數和邊數         
}MGraph; 

void Floyd(MGraph g)
{
 　　int A[MAXV][MAXV];
 　　int path[MAXV][MAXV];
 　　int i,j,k,n=g.n;
 　　for(i=0;i<n;i++)
    　　for(j=0;j<n;j++)
    　　{ 　　
             A[i][j]=g.edges[i][j];
         　　 path[i][j]=-1;
     　 }
 　　for(k=0;k<n;k++)
 　　{ 
      　　for(i=0;i<n;i++)
         　　for(j=0;j<n;j++)
             　　if(A[i][j]>(A[i][k]+A[k][j]))
             　　{
                   　　A[i][j]=A[i][k]+A[k][j];
                   　　path[i][j]=k;
              　 } 
    　} 
}

算法時間複雜度:O(n³)