最短路徑：Dijkstra算法和Floyd算法

Dijkstra算法——單源最短路徑算法

算法本質：求圖中某個頂點到其餘各頂點的最短路徑。

相關符號	說明
v	源點
S	已經生成最短路徑的終點
w<v, vi>	從頂點 v 到頂點 vi 的權值
dist(v, vi)	表示從頂點 v 到頂點 vi 的最短路徑長度
數組dist[n]	存儲當前最短路徑的長度
數組path[n]	存儲當前的最短路徑，即頂點序列

從 v 到其他所有頂點的最短路徑

• 初始化：集合S = {v}；dist(v, vi) = w<v, vi>, (i=1…n)；
• 重複下述操作直到 S == V
  2.1 dist(v, vk) = min{dist(v, vj), (j=1…n)}；
  2.2 S = S + {vk}；
  2.3 dist(v, vj)=min{dist(v, vj), dist(v, vk) + w<vk, vj>}；

例：

圖採用鄰接矩陣來存儲

• (1)從頂點v0到其餘頂點最短路徑。當v0到vi有邊，則寫出權值，否則∞。

• (2) 從通往當前剩餘頂點的路徑選取權值最小的，是v0->v1.權值爲10，因此將頂點v1併入到S中。

• (3)從通往當前剩餘頂點的路徑中選取權值最小的，是v0->v3，權值爲30，因此將v3併入到S中。
  v0->v3->v2,權值爲50，將v2併入到S。

• 重複上述操作

由上表可知：

1. 頂點v0到頂點v1的最短路徑爲v0→v1，長度爲10.
2. 頂點v0到頂點v2的最短路徑爲v0→v3→v2，長度爲50.
3. 頂點v0到頂點v3的最短路徑爲v0→v3，長度爲30.
4. 頂點v0到頂點v4的最短路徑爲v0→v3→v2→v4，長度爲60.

Floyd算法——多源最短路徑算法

算法本質：求圖中任意一對頂點間的最短路徑。

相關符號	說明
w<vi, vj>	從頂點 vi 到頂點 vj 的權值
distk(vi, vj)	從頂點 vi 到頂點 vj 經過的頂點編號不大於 k 的最短路徑長度

每一對頂點的最短路徑

1. 初始化：假設從 vi 到 vj 的弧是最短路徑，即dist-1(vi, vj)=w<vi, vj>；
2. 循環變量 k 從 0~n-1 進行 n 次迭代：
   distk(vi, vj)=min{distk-1(vi, vj), distk-1(vi, vk)+distk-1(vk, vj)}

例：有三座城市，v0與v2、v1城市有互相到達的公路，v2沒有直接到達v1的公路。

城市v2去城市v1經過了城市v0，距離爲7。

城市v0去城市v2可以經過了城市v1，距離爲6<直接去的距離11.

城市v1去城市v0可以經過了城市v2，距離爲5<直接去的距離6.

時間複雜度

最短路徑算法	時間複雜度
Dijkstra算法	O(n²)
Floyd算法	O(n³)

此次的數據結構分享就到這裏，歡迎大家指導指正~ 我是愛吃肉的小白yyyloki，如果你覺得不錯的話點個贊👍吧！我們下次見~886