8. C語言求圓周率π（三種方法）

題目1) 利用公式①計求π的近似值，要求累加到最後一項小於10^(-6)爲止。

題目2) 根據公式②，用前100項之積計算π的值。

題目1)提供了一種解法，題目2)提供了兩種解法，請看解析。

題目1)的代碼：

 1 #include <stdio.h>
 2 #include <stdlib.h>
 3 #include <math.h>
 4 int main(){
 5     float s=1;
 6     float pi=0;
 7     float i=1.0;
 8     float n=1.0;
 9     while(fabs(i)>=1e-6){
10         pi+=i;
11         n=n+2;
12         // 這裏設計的很巧妙，每次正負號都不同 
13         s=-s; 
14         i=s/n;
15     }
16     pi=4*pi;
17     printf("pi的值爲：%.6f\n",pi);
18     
19     return 0;
20 }

運行結果：

pi的值爲：3.141594

上面的代碼，先計算π/4的值，而後再乘以4，s=-s; 用的很巧妙，每次循環，取反，結果就是，此次是正號，下次就是負號，以此類推。

題目2)的代碼[代碼一]：

 1 #include <stdio.h>
 2 #include <math.h>
 3 int main(){
 4     float pi=1;
 5     float n=1;
 6     int j;
 7     for(j=1;j<=100;j++,n++){
 8         if(j%2==0){
 9             pi*=(n/(n+1));
10         }else{
11             pi*=((n+1)/n);
12         }
13     }
14     pi=2*pi;
15     printf("pi的值爲：%.7f\n",pi);
16  
17     return 0;
18 }

運行結果：

pi的值爲：3.1260781

此算法的主要思想：
觀察分子數列：
a1=2  a2=2
a3=4  a4=4
a5=6  a6=6
......
由此得知，當n爲偶數時，an=n；當n爲奇數時，an=a(n+1)=n+1;

同理觀察分子數列：
b1=1 b2=3
b3=3 b4=5
b5=5 b6=7
b7=7 b8=9.......
由此可知，當n爲奇數時，bn=n，當n爲偶數時，bn=b（n+1）。
綜上可知，當n爲奇數時，每次應乘以（n+1）/n。當n爲偶數時，每次應乘以n/(n+1)。

題目2)的代碼[代碼二]：

 1 #include <stdio.h>
 2 #include <math.h>
 3  
 4 int main(){
 5     float term,result=1;
 6     int n;
 7     for(n=2;n<=100;n+=2){
 8         term=(float)(n*n)/((n-1)*(n+1));
 9         result*=term;
10     }
11     printf("pi的值爲：%f\n", 2*result);
12     
13     return 0;
14 }

運行結果：

pi的值爲：3.126079

算法思想：採用累乘積算法，累乘項爲term=n*n/((n-1)*(n+1)); n=2,4,6,...100。步長爲2。

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