樹與樹的表示

目錄

• 1、什麼是樹
• 2、查找
  • 2.1 靜態查找
    • 2.1.1 方法1：順序查找
    • 2.1.2 方法2：二分查找（Binary Search）
• 3、二分查找斷定樹
• 4、樹的定義
• 5、樹與非樹
  • 5.1 非樹
  • 5.2 樹
• 6、樹的一些基本術語
• 7、樹的表示
  • 7.1 樹的鏈表表示
  • 7.2 樹的鏈表（兒子-兄弟）表示法

1、什麼是樹

客觀世界中許多事物存在層次關係

• 人類社會家譜
• 社會組織結構
• 圖書信息管理

其中，人類社會家譜以下圖所示：

經過上述所說的分層次組織，可以使咱們在數據的管理上有更高的效率！那麼，對於數據管理的基本操做——查找，咱們如何實現有效率的查找呢？

2、查找

查找：根據某個給定關鍵字K，從集合R中找出關鍵字與K相同的記錄

靜態查找：集合中記錄是固定的，即對集合的操做沒有插入和刪除，只有查找

動態查找：集合中記錄是動態變化的，即對集合的操做既有查找，還可能發生插入和刪除（動態查找不在咱們考慮範圍內）

2.1 靜態查找

2.1.1 方法1：順序查找

/* c語言實現 */

int SequentialSearch (StaticTable *Tbl, ElementType K)
{
// 在表Tbl[1]~Tb1[n]中查找關鍵字爲K的數據元素
  int i;
  Tbl->Element[0] = K; // 創建哨兵，即沒找到能夠返回哨兵的索引0表示未找到
  for (i = Tbl->Length; Tbl->Element[i] != K; i--); // 查找成功返回所在單元下標；不成功放回0
  return i;
}

順序查找算法的時間複雜度爲O(n)

2.1.2 方法2：二分查找（Binary Search）

假設n個數據元素的關鍵字知足有序（好比：小到大），即\(k_1<k_2<\cdots<k_n\)，而且是連續存放（數組），那麼能夠進行二分查找。

例：假設有13個數據元素，按關鍵字由小到大順序存放。二分查找關鍵字爲444的數據元素過程以下圖：

仍然以上面13個數據元素構成的有序線性表爲例，二分查找關鍵字爲43的數據元素以下圖：

/* c語言實現 */

int BinarySearch (StaticTable *Tbl, ElementType K)
{
  // 在表中Tbl中查找關鍵字爲K的數據元素
  int left, right, mid, NoFound = -1;
  
  left = 1; // 初始左邊界
  right = Tbl->Length; // 初始右邊界
  while (left <= right)
  {
    mid = (left + right) / 2; // 計算中間元素座標
    if (K < Tbl->Element[mid]) right = mid - 1; // 調整右邊界
    else if (K > Tbl->Element[mid]) left = mid + 1; // 調整左邊界
    else return mid; // 查找成功，返回數據元素的下標
  }
  return NotFound; // 查找不成功，返回-1
}

# python語言實現

def binary_chop(alist, data):
    n = len(alist)
    first = 0
    last = n - 1
    while first <= last:
        mid = (last + first) // 2
        if alist[mid] > data:
            last = mid - 1
        elif alist[mid] < data:
            first = mid + 1
        else:
            return True
    return False

二分查找算法具備對數的時間複雜度O(logN)

二分查找算法雖然解決了查找的時間複雜度問題，可是對於數據的插入和刪除確是O(n)的，所以有沒有一種數據結構，既能夠減小數據查找的時間複雜度，又能夠減小數據的插入和刪除的複雜度呢？

3、二分查找斷定樹

除了使用上述兩個方法進行關鍵字的查找，咱們還能夠經過二叉樹這種數據結構完成關鍵字的查找。

從上圖能夠看出，若是咱們須要尋找數字8，能夠經過如下4步實現（可能看不懂，將來會看得懂）：

1. 根節點6小於8，往6的右子節點9找
2. 結點9大於8，往9的左子結點7找
3. 結點7小於8，往7的左子結點找
4. 找到8

• 斷定樹上每一個結點須要的查找次數恰好爲該結點所在的層數；
• 查找成功時查找次數不會超過斷定樹的深度
• N個結點的斷定樹的深度爲\([log_2{n}]+1\)
• \(ASL = (4*4+4*3+2*2+1)/11 = 3\)

4、樹的定義

樹（Tree）：\(n(n\geq{0})\)個結點構成的有限集合。

• 當n=0時，稱爲空樹
• 對於任一顆非空樹（n>0），它具有如下性質：
  • 樹中有一個稱爲根（Root）的特殊結點，用r表示
  • 其他結點可分爲m（m>0）個互不相交的有限集\(T_1,T_2,\cdots,T_m\)，其中每一個集合自己又是一棵樹，稱爲原來樹的子樹（SubTree）

5、樹與非樹

牢記樹有如下3個特性：

1. 子樹是不相交的；
2. 除了根結點外，每一個結點有且僅有一個父結點；
3. 一顆N個結點的樹有N-1條邊

5.1 非樹

5.2 樹

6、樹的一些基本術語

1. 結點的度（Degree）：結點的子樹個數
2. 樹的度：樹的全部結點中最大的度數
3. 葉結點（Leaf）： 度爲0的結點
4. 父結點（Parent）：有子樹的結點是其子樹的根結點的父結點
5. 子結點（Child）：若A結點是B結點的父結點，則稱B結點是A結點的子結點；子結點也稱孩子結點

6. 兄弟結點（Sibling）：具備同一父結點的各結點彼此是兄弟結點

7. 路徑和路徑長度：從結點\(n_1\)到\(n_k\)的路徑爲一個結點序列\(n_1 , n_2 ,\cdots, n_k\) , \(n_i\)是\(n_{i+1}\)的父結點。路徑所包含邊的個數爲路徑的長度

8. 祖先結點(Ancestor)：沿樹根到某一結點路徑上的全部結點都是這個結點的祖先結點

9. 子孫結點(Descendant)：某一結點的子樹中的全部結點是這個結點的子孫

10. 結點的層次（Level）：規定根結點在1層，其它任一結點的層數是其父結點的層數加1

11. 樹的深度（Depth）：樹中全部結點中的最大層次是這棵樹的深度

7、樹的表示

7.1 樹的鏈表表示

上圖所示樹的鏈表表示法有很大的缺陷，假設樹的深度很是大，而且不能保證全部樹的子結點都有3個，那麼會形成很大程度的浪費。

7.2 樹的鏈表（兒子-兄弟）表示法

爲了解決樹的普通鏈表表示會有空間的浪費的缺陷，咱們能夠把鏈表的指針設置兩個連接，一個連接指向兒子結點，另外一個連接指向兄弟結點，以下圖所示：

上圖所示的樹的表示方法，已經足夠完美了，可是若是咱們把鏈表表示的樹旋轉45°角，會發現以下圖所示：

通過45°角的旋轉，咱們會發現一顆二叉樹（一個結點至多擁有2個子結點的樹），也就是說最普通的樹其實能夠經過二叉樹表示，也就是說咱們只要把二叉樹研究透了，咱們即研究透了樹。