線性代數學習筆記(幾何版)

本博客僅用來記錄重要概念。

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不得不說，這位up主講的是真心好，尤爲是點積叉積那一部分，直接刷新世界觀QWQ。

 

基

空間內的一組基指的是：張成該空間的一個線性無關向量的集合

 

張成

全部能夠表示爲給定向量線性組合的向量的集合被稱爲給定向量張成的空間

張成在這裏應該是動詞。

 

 

在三維空間中，兩個向量張成出的空間應該是某個過原點的平面

 

線性相關

一組向量中至少有一個是多餘的，沒有對張成空間作出任何貢獻

你有多個向量， 而且能夠移除其中的一個而不減少張成的空間

這種狀況發生時，咱們稱他們是「線性相關」的

 

若是全部的向量都給張成的空間增長了新的維度，他們就被稱爲「線性無關」

 

 

矩陣

這介紹怎麼這麼鬼畜。。

 

對空間的一種特定變換

 

線性變換

接收一個向量，並輸出一個向量的變換

線性的直觀含義：

1.直線在變換後仍然爲直線，不能有所彎曲

2.原點必須保持固定（若是原點不固定，它可能爲「仿射變換」）

 

注意：線性變換「保持網格線平行且等距分佈」—》若是變換前的向量是$i$和$j$的線性組合，那麼變換後也是$i$和$j$的線性組合

 

矩陣乘法

複合矩陣

乘積須要從右往左計算

我對矩陣乘法的理解：

首先把$M_1$的$[e,g]$當作一個向量，$[f,h]$當作一個向量

左乘$M_2$實際是兩個向量分別與$M_2$相乘

$M_2$能夠看作將基底進行變換的矩陣

根據線性變換的性質，

$[e,g]$所表明的向量爲$ei + gj$，此時$i$變爲$(a,c)$，$j$變爲$(b, d)$

而後帶入相乘就獲得了最終答案

矩陣乘法的性質

不知足交換律

對於變換$A,B$，先應用$A$再應用$b$

和線應用$B$，再應用$A$，獲得的結果是不一樣的

知足結合律

$(AB)C$至關於先應用$C$變換，再應用$B$、$A$變換

$A(BC)$至關於先應用$C$、$B$變換，再應用$A$變換，

他們的運算順序是相同的

三維空間內的線性變換

本質與二維是相同的

 

行列式

二維空間

線性變換改變面積的比例被稱爲這個變換的行列式

當空間定向改變的狀況發生時行列式爲負

 

三維空間

三維空間下行列式的值爲平行六面體的體積

 

判斷正負的方法：

右手定則：讓食指指向$i$，中指指向$j$，拇指指向$k$，若是變換以後仍然能這麼作，則爲正；若只能用食指這麼作，則爲負

 

 

行列式的計算

二維

證實：

 

三維：

 

性質

 

逆矩陣

 

矩陣的秩

秩：變換後空間的維數/列空間的維數

滿秩：秩與列數相同

 

列空間

直線/平面/三維空間等，全部可能的變換結果的集合，被稱爲矩陣的「列空間」

 

零空間

零空間：變換後落在原點的向量的集合

點積

定義：

代數：對於兩個維度相同的矩陣，其點積爲將相應座標配對，求出每一對座標的乘積再相加

幾何：兩個向量的點積爲一個向量在另外一個向量上正交投影的長度乘以另外一個向量的長度(好繞。。)

若兩向量反向，則乘積爲負

二者的關係：

這一部分聽傻了，感受都是神仙推導。太強了orz

叉積

定義

視頻中並無明確的給出叉積的定義

大概就是算出兩個向量的行列式來構成第三個向量

正負

對於$i \times j$，若$i$在$j$右側，則叉積爲正，不然叉積爲負

計算

基變換

感受前面講過。。

特徵向量與特徵值

定義

特徵向量

在基向量變換後張成出的空間與基向量不變時張成出的空間相同的向量？

特徵值

特徵向量在變換後被縮放/拉伸的比例