深刻淺出計算機組成原理學習筆記：第五十講

1、引子

講完校驗碼以後，你如今應該知道，不管是奇偶校驗碼，仍是CRC這樣的循環校驗碼，都只能告訴咱們一個事情，就是你的數據出錯了。因此，校驗碼也被稱爲檢錯碼（Error Detecting Code）。

不論是校驗碼，仍是檢錯碼，在硬件出錯的時候，只能告訴你「我錯了」。可是，下一個問題，「錯哪兒了」，它是回答不了的。這就致使，咱們的處理⽅式只有一種，那就是當成「哪兒都錯了」。若是是下載一
個文件，發現校驗碼不匹配，咱們只能從新去下載；若是是程序計算後放到內存裏面的數據，咱們只能再從新算一遍。

這樣的效率實在是過低了，因此咱們須要有一個辦法，不只告訴咱們「我錯了」，還能告訴咱們「錯哪錯了」。因而，計算機科學家們就發明了 糾錯碼。糾錯碼須要更多的冗餘信息，經過這些冗餘信息，咱們不只
能夠知道哪兒的數據錯了，還能直接把數據給改對。這個是否是聽起來很神奇？接下來就讓咱們一塊兒來看一看。

2、海明碼：咱們須要多少信息冗餘？

最知名的糾錯碼就是海明碼。海明碼（Hamming Code）是以他的發明⼈Richard Hamming（理查德·海明）的名字命名的。這個編碼方式早在上世紀四十年代就被髮明出來了。一直到今天，咱們上一講所說到的
ECC內存，也還在使用海明碼來糾錯。

最基礎的海明碼叫 7-4海明碼。這裏的「7」指的是實際有效的數據，一共是7位（Bit）。而這裏的「4」，指的是咱們額外存儲了4位數據，用來糾錯。

首先，你要明一點點，糾錯碼的糾錯能力是有限的。不是說無論錯了多少位，咱們都能給糾正過來。否則咱們就不須要那7個數據位，只須要那4個校驗位就行了，這意味着咱們能夠不⽤數據位就能傳輸信息了。這就
不科學了。事實上，在7-4海明碼裏面，咱們只能糾正某1位的錯誤。這是怎麼作到的呢？咱們⼀起來看看。

4位的校驗碼，一共能夠表示2^4=16個不一樣的數。根據數據位計算出來的校驗值，必定是肯定的。因此，若是數據位出錯了，計算出來的校驗碼，必定和肯定的那個校驗碼不一樣。那可能的值，就是在2^4-1=15
那剩下的15個可能的校驗值當中。

15個可能的校驗值，其實能夠對應15個可能出錯的位。這個時候你可能就會問了，既然咱們的數據位只有7位，那爲何咱們要用4位的校驗碼呢？用3位不就夠了嗎？2^3-1=7，正好可以對上7個不一樣的數據位啊！

你別忘了，單比特翻轉的錯誤，不只可能出如今數據位，也有可能出如今校驗位。校驗位原本也是可能出錯的。因此，7位數據位和3位校驗位，若是隻有單比特出錯，可能出錯的位數就是10位，2^3-1=7種狀況是
不能幫咱們找到具體是哪一位出錯的。

事實上，若是咱們的數據位有K位，校驗位有N位。那麼咱們須要知足下面這個不等式，才能確保咱們可以對單比特翻轉的數據糾錯。這個不等式就是：

在有7位數據位，也就是K=7的狀況下，N的最⼩值就是4。4位校驗位，其實最多能夠支持到11位數據位。我在下面列了一個簡單的數據位數和校驗位數的對照表，你能夠本身算一算，理解一下上面的公式。

3、海明碼的糾錯原理

如今你應該搞清楚了，在數據位數肯定的狀況下，怎麼計算須要的校驗位。那接下來，咱們就⼀起看看海明碼的編碼方式是怎麼樣的。

爲了算起來簡單一點，咱們少用一些位數，來算一個 4-3海明碼（也就是4位數據位，3位校驗位）。咱們把4位數據位，分別記做d一、d二、d三、d4。這裏的d，取的是數據位data bits的首字母。咱們把3位校驗位，
分別記做p一、p二、p3。這⾥的p，取的是校驗位parity bits的首字母。

從4位的數據位裏面，咱們拿走1位，而後計算出一個對應的校驗位。這個校驗位的計算用以前講過的奇偶校驗就能夠了。好比，咱們用d一、d二、d3來計算出一個校驗位p1；用d一、d三、d4計算出⼀個校驗位p2；用
d二、d三、d4計算出一個校驗位p3。就像下面這個對應的表格同樣：

這個時候，你去想想，若是d1這一位的數據出錯了，會發生什麼狀況？咱們會發現，p1和p2和校驗的計算結果不同。d2出錯了，是由於p1和p3的校驗的計算結果不同；d3出錯了，則是由於p2和p3；若是
d4出錯了，則是p一、p二、p3都不同。你會發現，當數據碼出錯的時候，至少會有2位校驗碼的計算是不一致的。

那咱們倒過來，若是是p1的校驗碼出錯了，會發⽣什麼狀況呢？這個時候，只有p1的校驗結果出錯。p2和p3的出錯的結果也是同樣的，只有一個校驗碼的計算是不一致的。

因此校驗碼不一致，一共有2^3-1=7種狀況，正好對應了7個不一樣的位數的錯誤。我把這個對應表格也放在下面了，你能夠理解一下。

能夠看到，海明碼這樣的糾錯過程，有點兒像電影裏面看到的推理探案的過程。經過出錯現場的額外信息，一步一步條分縷析地找出，究竟是哪一位的數據出錯，還原出錯時候的「犯罪現場」。看到這裏，相信你一方面會以爲海明碼特別神奇，可是同時也會冒出一個新的疑問，咱們怎麼才能用一套程序或者規則來生成海明碼呢？其實這個步驟並不複雜，接下來咱們就一塊兒來看一下。

首先，咱們先肯定編碼後，要傳輸的數據是多少位。好比說，咱們這裏的7-4海明碼，就是⼀共11位。而後，咱們給這11位數據從左到右進行編號，而且也把它們的二進制表示寫出來。

接着，咱們先把這11個數據中的二進制的整數次冪找出來。在這個7-4海明碼裏面，就是一、二、四、8。這些數，就是咱們的校驗碼位，咱們把他們記錄作p1~p4。若是從⼆進制的⻆度看，它們是這11個數當中，惟
四的，在4個比特里面只有一個比特是1的數值。那麼剩下的7個數，就是咱們d1-d7的數據碼位了。

而後，對於咱們的校驗碼位，咱們仍是用奇偶校驗碼。可是每個校驗碼位，不是用全部的7位數據來計算校驗碼。兒是p1用三、五、七、九、11來計算。也就是，在二進制表示下，從右往左數的第四位比特是1的狀況
下，用p1做爲校驗碼。

剩下的p2，咱們用三、六、十、11來計算校驗碼，也就是在二進制表示下，從右往左數的第二位比特是1的狀況下，用p2。那麼，p3天然是從右往左數，第三位比特是1的狀況下的數字校驗碼。而p4則是第四位比特是
1的狀況下的校驗碼。

這個時候，你會發現，任何一個數據碼出錯了，就至少會有對應的兩個或者三個校驗碼對不上，這樣咱們就能反過來找到是哪個數據碼出錯了。若是校驗碼出錯了，那麼只有校驗碼這一位對不上，咱們就知道是這
個校驗碼出錯了。

上面這個方法，咱們能夠用一段肯定的程序表示出來，意味着不管是幾位的海明碼，咱們都再也不須要人工去精巧地設計編碼方案了。

4、海明距離：形象理解海明碼的做用

其實，咱們還能夠換一個角度來理解海明碼的做用。對於兩個二進制表示的數據，他們之間有差別的位數，咱們稱之爲海明距離。好比1001和0001的海明距離是1，由於他們只有最左側的第⼀位是不一樣的。而1001
和0000的海明距離是2，由於他們最左側和最右側有兩位是不一樣的。

因而，你很容易能夠想到，所謂的進行一位糾錯，也就是全部和咱們要傳輸的數據的海明距離爲1的數，都能被糾正回來。

而任何兩個實際咱們想要傳輸的數據，海明距離都至少要是3。你可能會問了，爲何不能是2呢？由於若是是2的話，那麼就會有一個出錯的數，到兩個正確的數據的海明距離都是1。當咱們看到這個出錯的數的時
候，咱們就不知道究竟應該糾正到那一個數了。

在引如了海明距離以後，咱們就能夠更形象地理解糾錯碼了。在沒有糾錯功能的狀況下，咱們看到的數據就好像是空間裏面的一個一個點。這個時候，咱們可讓數據之間的距離很緊湊，可是若是這些點的座標稍稍
有錯，咱們就可能搞錯是哪個點。

在有了1位糾錯功能以後，就好像咱們把一個點變成了以這個點爲中心，半徑爲1的球。只要座標在這個球的範圍以內，咱們都知道實際要的數據就是球⼼的座標。而各個數據球不能距離太近，不一樣的數據球之間要有
3個單位的距離。

 

 

5、總結延伸

好了，糾錯碼的內容到這⾥就講完了。你可不要⼩看這個看起來簡單的海明碼。雖然它在上世紀40年代早早地就誕生了，不過直到今天的ECC內存裏面，咱們還在使用這個技術方案。而海明也由於海明碼得到了圖靈獎。

經過在數據中添加多個冗餘的校驗碼位，海明碼不只可以檢測到數據中的錯誤，還可以在只有單個位的數據出錯的時候，把錯誤的一位糾正過來。在理解和計算海明碼的過程當中，有一個很重要的點，就是不只原來的
數據位可能出錯。咱們新添加的校驗位，同樣可能會出現單比特翻轉的錯誤。這也是爲何，7位數據位用3位校驗碼位是不夠的，而須要4位校驗碼位。

實際的海明碼編碼的過程也並不複雜，咱們經過不不一樣過的校驗位，去匹配多個不一樣的數據組，確保任何一個數據位出錯，都會產生意個多個校驗碼位出錯的惟一組合。這樣，在出錯的時候，咱們就能夠反過來找到
出錯的數據位，並糾正過來。當只有一個校驗碼位出錯的時候，咱們就知道實際出錯的是校驗碼位了。