205.碼制

1.定義

      計算機中的數是用二進制來表示。數的符號也是用二進制表示的。在機器中，把一個數連同其符號在內數值化表示的數成爲機器數。機器數能夠用不一樣的碼制來表示，經常使用的有原碼、補碼、反碼錶示法。通常用最高有效位表示數的符號，正數用0表示，負數用1表示。

     原碼由真值得來，真值（人理解的數 +3 -3 +1.5 -1.5）是一個變量自己所具備的真實值，是一個理想概念，通常沒法獲得。

 

2.原碼

 2.1真值化原碼

整數	+5D	-5D
1 取絕對值	[+5]真值→|+5|=5	[-5]真值→|-5|=5
2 化二進制	（5）10=（0101）2=0101B	（5）10=（0101）2=0101B
3 加正負號（此時位機器真值）	0101B加符號 → +0101B機器真值	0101B加符號 → -0101B機器真值
4 標準化 （符號位正爲0負爲1，尾數外中間補0）	+0101B=0 000 0101B	-0101B=1 000 0101B
	[+5]原碼=0 000 0101B	[-5]原碼=1 000 0101B

 

純小數	+0.8125D	-0.8125D
1 取絕對值	|+0.8125|=0.8125	|-0.8125|=0.8125
2 化二進制	（0.8125）10=（0.1101）2=0.1101B	（0.8125）10=（0.1101）2=0.1101B
3 加正負號	0.1101B加符號 → +0.1101	0.1101B加符號 → -0.1101B機器真值
4 標準化 （符號位正爲0負爲1，右補足8位）	+0.1101B=0.1101 000B	-0.1101B=1.1101 000B
	[+0.8125]原碼=0.1101 000B	[-0.8125]原碼=1.1101 000B

 純小數表示範圍爲（-1，1），因此8位0.1101 000B存儲爲0110 1000，並不會和0110 1000表示的整數衝突

 

3.反碼

 正數 原碼、反碼、補碼 同樣

 負數 反碼在原碼基礎上，符號位不變，其餘位按位取反

整	正	[+5]反=[+5]補=[+5]原=0 000 0101B
	負	[-5]原=   1 000 0101 B	[-5]補=[-5]反+1=111 1011B                     末位加一
		符號位不變↓↓其他按位取反
		[-5]反=   1 111 1010 B
小	正	[+0.8125]反=[+0.8125]補=[+0.8125]原=0.1101 000 B
	負	[-0.8125]原=1.1101 000	[-0.8125]補=[-0.8125]反+0.000 0001 =1.001 0111+0.000 0001=1.001 1000
		符號位不變↓↓其他按位取反
		[-0.8125]反=1.0010 111

4.補碼

4.1定義

補碼錶示法中，

正數採用 符號-絕對值 表示，即數的最高有效位爲0表示正，數的其他部分則表示數的絕對值

機器字長8位：

[+1]_補 = 0 000 0001

[+127]_補 = 0 111 111

[+0]_補 = 0000 0000

補碼錶示負數，n位機器字長表示負數X爲 2ⁿ-|X|

機器字長8位：

[-1]_補 = 2⁸-1 = 1 111 1111

[-127]_補 = 2⁸-127 = 1 000 0001

[-0]_補 = 2⁸-0 = 0000 0000

注意

補碼錶示法中0只有一種表示即 0000 0000

對於1000 0000，在補碼錶示法中被定義爲  -128

8位	原碼	反碼	補碼
+0	0000 0000	0000 0000	0000 0000
-0	1000 0000	1111 1111	1 0000 0000 cf=1
範圍	-127D˜127D	-127D˜127D	-128D˜127D

8位能夠表示28個不一樣的數，+0和-0補碼都是0000 0000，空一個表示-128

 

4.2轉化

正數

　　原碼、反碼、補碼 同樣

負數

　　法一：補碼在反碼基礎上，末位加一 

整	正	[+5]反=[+5]補=[+5]原=0 000 0101B
	負	[-5]原=   1 000 0101 B	[-5]補=[-5]反+1=111 1011B                     末位加一
		符號位不變↓↓其他按位取反
		[-5]反=   1 111 1010 B
小	正	[+0.8125]反=[+0.8125]補=[+0.8125]原=0.1101 000 B
	負	[-0.8125]原=1.1101 000	[-0.8125]補=[-0.8125]反+0.000 0001 =1.001 0111+0.000 0001=1.001 1000
		符號位不變↓↓其他按位取反
		[-0.8125]反=1.0010 111

　　法二：對於一個正數的補碼錶示  按位求反後再在末位加一  能夠獲得與此正數相對於的負數的補碼錶示

	機器字長爲8位	機器字長爲16爲
	-46D的補碼	-117D的補碼
1  先寫出與該數相對應的 正數的補碼錶示（符號-絕對值法）	+46D的補碼錶示爲 0010 1110	+117D的補碼錶示爲 0000 0000 0111 0101
2  將其按位取反	1101 0001	1111 1111 1000 1010
3  在末位（最低位）加一	1101 0010	1111 1111 1000 1011
4  用十六進制表示	D       2	F       F       8      B
5  結果	[-46]補 = D2H	[-117]補 = FF8BH

 

4.3計算

4.3.1求補運算

定義

對於一個二進制數→按位求反→在末位加一  的運算稱爲求補運算

 

推理

補碼錶示的數具備如下特性：

　　[X]_補   求補得› [-X]_補  求補得›  [X]_補

	[117]補=0075H	[-117]補=FF8BH
對[-117]補 做求補運算	[-117]補爲	1111 1111 1000 1011
	按位求反後得	0000 0000 0111 0100
	末位加一後得	0000 0000 0111 0101
	[-117]補爲	0000 0000 0111 0101

4.3.2加減運算

補碼的加法規則：

　　[X+Y]_補 = [X]_補 + [Y]_補

補碼的減法規則：

　　[X-Y]_補 = [X]_補 + [-Y]_補

其中[-Y]_補 只要對[Y]_補求補就可獲得

　　[Y]_補  → 因此位按位取反 → 末位加一 → [-Y]_補 

十進制		二進制
	+25		0001 1001
+	+32	+	0010 0000
=	57	=	0011 1001
	+32		0010 0000
+	-25	+	1110 0111
=	7	=	0000 0111
			↓1
	-25		1110 0111
+	-32	+	1110 0000
=	-57	=	1100 0111
			↓1
	25		0001 1001
+	-32	+	1110 0000
=	-7	=	1111 1001

 

十進制		二進制
	25		0001 1001		0001 1001
-	32	-	0010 0000	+	1110 0000
=	-7	對減數求補換成加法		=	1111 1001
	-25		1110 0111		1110 0111
-	-32	-	1110 0000	+	0010 0000
=	7	對減數求補換成加法		=	0000 0111
					↓1

 

5.符號擴展

符號擴展是指一個數從位數較少擴展到位數較多（如從8爲擴展到16位，或從16位擴展到32位）

補碼錶示數的符號擴展，對於補碼錶示的數，正數的符號擴展應該在前面補0，而負數擴展則應該在前面補1

機器字長爲8位	[+46]補=                 0010 1110	[-46]補=                 1101 0010
擴展到16位	[+46]補= 0000 0000 0010 1110	[-46]補= 1111 1111 1101 0010

 

6.數的表示範圍

6.1n位補碼

通常來講n位補碼錶示的數的表示範圍是 -2^n-1 ≤ N ≤ 2^n-1-1

8位二進制數能夠表示28=256個數，當他們是補碼錶示帶符號數時，他們表數範圍爲-128 ≤ N ≤ +127

n=16時的表數範圍是-32768 ≤ N ≤ +32767

 

爲了擴大表數範圍，在機器裏，能夠用二個機器字（低位字和高位字）來表示一個機器數，這種數稱爲雙字長數或雙精度數，其中高位字的最高有效位爲符號位。

機器字長爲16位爲例，高位字的低15位和整個低位字的16位聯合組成31位數來表示數值，於是低位字的最高有效位沒有符號意義只有數值意義，雙字長數的表數範圍可擴大到 -2³¹ ≤ N ≤ 2³¹-1

15	14              0	15                   0
符號	高位字	低位字
	補碼值