二叉排序樹及相關操做說明

在講到集合的時候，很容易讓人想到的是數組和鏈表。而後你們會討論這兩種數據結構的差別。可是根據指定的內容在集合中查找，這兩種數據結構的性能卻沒有區別都是O(n)，如何提升在集合中檢索指定內容數據的性能，是咱們在程序開發中面臨的問題。

二叉排序樹

二叉排序樹的性質

1. 左子樹不空時，左子樹上全部的結點關鍵字的值均小於根結點關鍵字的值；
2. 右子樹不空時，右子樹上全部的結點關鍵字的值均大於根結點關鍵字的值；
3. 左右子樹同時有知足性質一、性質2

二叉樹的查找

1. 將給定的值與根結點相比較，若相等則查找成功；
2. 若小於根結點到左子樹進行查找，若大於根結點到右子樹進行查找；
3. 左右子樹依次進行步驟一、步驟2操做，直到找到相等的結點或找到null(查找失敗)
4. 二叉樹的查找與折半查找類似

二叉樹的操做

插入

例，根據{45,53,45,12,24,90}來構建二叉排序樹

1. 從一個空樹出發來構建二叉排序樹，新增結點是創建在查找二叉排序樹失敗的前提下，所以新增的結點必定是二叉排序樹的葉子結點
2. 中序遍歷二叉排序樹便可獲得一個有序的集合

刪除

二叉排序樹的刪除規則：設，
*f爲指向被刪除結點的雙親結點的指針
*p爲指向被刪除結點的指針

1. 若*p是葉子結點，那麼就直接刪除

   • *p是*f的左子結點，如圖所示：
     
   • *p是*f的右子結點，如圖所示：
     

2. 若刪除的*p結點只有左子樹或是右子樹，刪除*p結點以後直接將子樹掛在*f結點上便可，成爲*f結點的子樹

   • *p是*f的左子結點，如圖所示：
   • *p是*f的右子結點，如圖所示：
   • 說明：上述只是部分狀況，剩餘狀況最後都跟上圖顯示的刪除*p結點以後的結點狀況一致。

3. 若刪除的*p結點同時擁有左、右子樹，刪除節點有兩種可行性操做：

   • 若*p結點是*f的左子結點

     • 第一種操做：將*p點的左子樹PL直接掛載到*f結點上，成爲*f結點的左子樹，而後將*p結點的右子樹PR掛載到中序遍歷時PL子樹中*p結點的直接前驅節點，成爲該節點的右子樹；如圖所示：

     • 第二種操做：使用二叉排序樹的中序遍歷獲得的結點順序，肯定*p結點的直接前驅或直接後繼結點，將該結點移到*p結點位置

       • 該結點知足如下特性：

         1. 該結點是葉子結點或只有一個子樹(如果前驅節點只有左子樹；如果後繼節點只有右子樹)
         2. 該結點是*p前驅結點的話，就是該前驅結點父節點的右子結點；
         3. 該結點是*p後繼結點的話，就是該後繼結點父節點的左子結點。

       • 接下來以*p結點的前驅結點進行討論：

         • 若*p結點的前驅結點是葉子結點則直接移動便可，圖就略過了。
         • 若*p結點的前驅結點有左子樹的話，則將左子樹掛載到*p結點的前驅結點的父結點上，成爲*p結點的前驅結點的父結點的右子樹，如圖所示：

       • 接下來以*p結點的後繼結點進行討論：

         • 若*p結點的後繼結點是葉子結點則直接移動便可，圖(略)
         • 若*p結點的後繼結點有右子樹的話，則將右子樹掛載到*p結點的後繼結點的父結點上，成爲*p結點的後繼結點的父結點的左子樹，如圖所示：

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       • 上述是在*p是*f的左孩子的前提下進行的討論，接下來是以*p是*f的右孩子進行討論，直接上圖了

         • 第一種操做：

         • 第二種轉換：

           • 以*p結點的前驅結點進行討論
             
           • 以*p結點的後繼結點進行討論