小話數據結構-圖 (聚焦與於實現的理解)

數學使咱們可以發現概念和聯繫這些概念的規律，這些概念和規律給了咱們理解天然現象的鑰匙。

——愛因斯坦

前言

本文代碼基於C++實現，閱讀本文，須要有如下知識

1. 教熟練使用C++ STL庫中的vector，map，pair等；

2. 對於遞歸和簡單搜索算法（dfs，bfs）有粗淺的理解；

3. 稍微的離散數學或者是線性代數知識（多是我瞎掰的，沒有也罷 😂 ）

本文針對算法或數據結構初學者（好比我）寫下，本人不才，若有錯誤請輕噴 😄 。

瓶頸

在學習「數據結構」這門課以前，「圖論」這個略顯高級的詞彙看起來還與我那麼的遙遠，在通過了「離散數學」的學習以後，我慢慢認識到其實數據結構就是離散數學模型的代碼實現，而且在不斷的學習中，我開始能以我本身的思惟去理解圖論的知識。

數據結構的教科書上，每一個知識點都會系統的從「定義——術語——存儲結構——相關操做」娓娓道來，然而，各類各樣的障礙阻礙着咱們認知的過程。對於離散數學不熟悉的，一時間沒法抽象出模型，教材上冗長的代碼實現，給讀者一種晦澀難懂的感受。這時候咱們就要思考離散數學的本質——將具體問題抽象爲通常問題，在由算法解決。所以，咱們在一開始沒必要過於在乎方法，而是應該聚焦與實現，像大學物理作實驗同樣，多操做幾遍，天然就熟能生巧，甚至開發出新的理解。

你得從用戶的體驗出發，推倒用什麼技術。 ——喬布斯在1997年迴歸蘋果發佈會上回答提問

案例-引入

什麼是圖？簡單說就是點與點之間的網狀關係。

好比如下有6個城市之間的鐵路線。

 

 

 

地圖就是一個很經典的圖

那麼，咱們是如何表達他們的關係的呢

咱們使用鄰接表or鄰接矩陣

爲何是鄰接表/矩陣

鄰接表和鄰接矩陣是圖的兩種經常使用存儲表示方式，用於記錄圖中任意兩個頂點之間的連通關係，包括權值。

（在圖論相關的案例中，咱們會特別頻繁的用到這兩種表示方式）

咱們不談什麼二元組三元組的，想一想啊，圖重要的頂多就仨玩意：節點，邊，權值，而使用鄰接表和鄰接矩陣已經能夠清晰簡潔的表達這些關係了。

咱們先看看鄰接表和鄰接矩陣怎麼建；

鄰接表

emm，用圖表示就是上面那張圖啊，代碼實現的話，咱們用stl的vector更方便一點

#include <iostream>
#include <vector>
​
struct edge{//邊信息，邊有啥屬性往裏丟就行
    int to;//該邊能夠去往的下一個節點編號，有明確指向，是單向邊。
    int value;//存邊的權值，若是沒有能夠直接忽略
    edge(int t,int v) :to(t), value(v){};//構造函數
};
​
vector<edge> node[n];//用vector實現鄰接表的存儲
//ps：邊信息只有一個能夠直接存int，兩個能夠用stl的pair，三個及以上就確定要用struct了
//vector<int> node[n],vector<pair<int, int> >都是可行的，本身清楚意思就行

 

這裏是什麼意思呢，就是我有n個vector數組，每個數組表示一個點的信息，vector裏存的是邊（edge），每個點到點的通路意味着有一個對應的edge信息。

那麼，如何把信息存入鄰接表呢，咱們假設用一下流程輸入（大概就是平時作題的時候題目要求的輸出啦）

先假設每條邊的權值都是同樣的，就設爲「1」吧

//第一行爲兩個整數n，e，分別表示節點數，邊數，隨後n行，輸入節點信息，在隨後e行，接受邊信息

6 8

武漢 岳陽 南昌 長沙 株洲 湘潭

武漢 岳陽

岳陽 南昌

武漢 長沙

南昌 長沙

岳陽 長沙

長沙 株洲

長沙 湘潭

湘潭 株洲

#EOF

那麼，在C語言裏面咱們這麼處理輸入

map<string,int> tab;
map<int,string> tab0;
//創建散列表（哈希表），使每一個城市的編號和名字能夠相互鏈接
int n,m;
cin>>n>>m;
for(int i=0;i<n;i++){
    string name;
    cin>>name;
    tab0.insert({i,name});
    tab.insert({name,i});
    //給每個城市編號
}
while(m--){
    edge tmp;
    string a,b;
    node[map[a]].push_back(edge(map[b],1));
    //構造函數中map[a]表示名爲a的城市對應的編號，1表示權值，存入vector數組g中
    node[map[b]].push_back(edge(map[a],1));
    //由於是雙向邊因此正向反向都存一遍
}

 

這樣的話，咱們的鄰接表就徹底存儲好了

對於任意一個點，咱們要遍歷其相鄰點，只須要用一下代碼

//輸入城市名字 輸出其相鄰全部城市的名字
​
string name;
cin>>name;
for(auto it=node[tab[name]].begin();it!=g[tab[name]].begin();it++){//遍歷name節點的全部邊
    cout<<tab0[it->to]<<endl;
}

假如咱們輸入

岳陽

那麼就會返回

武漢

南昌

長沙

整個鄰接表的存儲和訪問過程就是以上的樣子了

鄰接矩陣

這個就很好理解了，就是一個n*n的二維數組模擬矩陣，表達的是點與點之間的關係，咱們沿用上一個例子裏的輸入，咱們創建出來的矩陣大概是這樣

 

 

這個鄰接矩陣只是斷定有無直接相連的，咱們用一個6*6的二維數組能夠很輕鬆的建出來，沒有自旋，未聯通和自我比較設置爲0（false），已聯通即設置爲1（true）。

案例-常見問題

（PS：本人才疏學淺，只介紹部分案例的大體思惟路線，細節歡迎各位深刻思考）

咱們接着上一個案例看，對於不少狀況，鄰接矩陣像上面這樣，就算建出來了，可是咱們如今用的，是一個實實在在的生活中的例子，誰都直到武漢和南昌之間一定能夠經過鐵路線到達，只是會通過別的站臺。

這個時候就引出了一個問題，按照鄰接表來看，武漢和南昌其實是經過其餘的節點鏈接起來了的，只是沒有直接鏈接。

然而此時，從「武漢「到」南昌」實際上有多條線路

武漢->岳陽->南昌

武漢->長沙->南昌

武漢->長沙->岳陽->南昌

武漢->岳陽->長沙->南昌

武漢->長沙->湘潭->株洲->南昌

………………

那咱們給其付的權值究竟是2，3，4仍是多少呢？

這就能夠引入到一個常見的圖論問題——「最短路」了

最短路

（PS：最短路問題在算法競賽和數學建模競賽中都是很是常見的）

故名思意，當咱們想要直接去往某個目的地時，必定是講究時間效率的，咱們不肯意走太長，更不肯意繞圈子，用規範的話說就是：「找最短路，而且避免系統資源浪費」，那咱們就要先走一遍全部路徑，看看哪一個路徑可行（比如天天高鐵第一班車是「探路車」）。

假設咱們要從武漢出發，去南昌：

咱們從武漢開始遍歷武漢接下來能夠到達每個城市

 

 

如此以來，逐個分析每一個爲直接相連的點，咱們能夠獲得整個圖的帶權值的的鄰接矩陣表示，其中有一個要點，即點不能重複訪問，而BFS按照層次遍歷鄰接表的模式很是契合這個目的。咱們沿用上方的輸入和鄰接表的存儲形式，如下給出大體的僞代碼：

#include<queue>//stl的queue容器
​
void bfs(int st){
    queue<edge> qu;//建立隊列
    qu.push(起始狀態入隊)；
    while(!qu.empty()){//當隊列非空
        if(當前狀態x方向可走)
            qu.push(當前狀態->x);//該狀態入隊
        if(當前狀態向y方向可走)
            qu.push(當前狀態->y);//該狀態入隊
        …………………
        處理(隊頂)qu.top();
        相應操做；
        qu.pop();//隊首彈出隊
    }//一次循環結束，執行下一次循環
}

如此以來，咱們就獲得了整個圖，每一個節點的詳細信息，能夠根據需求進行更細節的操做。

這即是最短路的基本思想，固然，實際狀況會更加複雜，好比邊的權值各有不一樣，是有向邊，出現負權值等狀況，也會有相應的算法（迪特斯科拉，貝爾曼-福德，弗洛伊德，SPFA，A_Star等算法），同時，在圖的遍歷時,經過鄰接矩陣咱們也能夠瞥見連通圖的不少性質，優美的現象能吸引人的思考，數學之美就在於這些奇妙之處。

歐拉路

咱們有目的性出行，確定也有旅遊出行，確定有人喜歡欣賞沿途的風景，我舉個例子，加入有一個岳陽人，他很喜歡看火車沿路的風景，他把以上6個城市做爲了本身旅行可規劃的目的地，他想在各個路線中穿梭，路線越長越好，可是他不喜歡看重複的風景，他想規劃一個走過的路不重複，並且最長的路線。走過的路不重複，就是所謂的歐拉路。

由於咱們着重考慮路徑，因此使用以前斷定有無直接鏈接的鄰接矩陣就能夠了，咱們使用DFS來遍歷全部邊並找出最長的一條。

int g[N][N];//鄰接矩陣2維數組
//默認鄰接矩陣信息已經存入了該二維數組中
bool st[N][N];//標記某一條邊是否被訪問過
int ans;//存儲答案
​
void dfs(int start, int res) {
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        if (g[start][i] == 1 || st[start][i] || st[i][start]) 
        //該邊能夠經過而且是第一次經過
            continue;
        st[u][i] = st[i][u] = true;//標記
        dfs(i, res + 1);//下一步
        st[u][i] = st[i][u] = false;//回溯
    }
    ans = max(ans, res);//保證獲得最大的結果
}

 

歐拉（回）路問題其實就是經典的「一筆畫問題」，應爲咱們每一步的斷定和操做都是固定的，經過dfs的「自相性」咱們每每能簡潔而優美的解決這一系列問題。

 

爲了繼續思考圖論的模型，咱們接下來不使用代碼討論另外兩種模型，這兩種模型的代碼模板很方便理解，瞭解了基本思路和模型，就很方便應用了。

 

並查集

咱們都知道每一個省有不少地放，如今隨意給你兩個市區的名稱，想要你判斷如下他們是否屬於同一個省份。

咱們將每一個城市存入其數據結構，能夠得出如下的狀況

 

 

並查集的關鍵在於處理父子節點的關係，這樣的數據架構能夠處理大量的「集合合併」操做

最小生成樹

再來一個例子，假設咱們要再部分城市之間架設最新最快的交通軌道，爲了使成本最低，如今要你選出一個方案，使架設的軌道線路最低：（如今咱們給邊附上權值）

 

 

這樣即是一個基礎的無向圖最小生成樹問題，咱們根據咱們已經創建的關係，採用並查集的數據結構，採用Kruskal或者Prim算法的模板能夠求出如下結果

更多……

圖論的問題和每個節點的信息息息相關，而如何使用圖論模型，關鍵在於如何定義「節點」。

關於這個問題，我很喜歡《算法圖解》裏的講解方式——將「狀態」轉化爲「信息」儲存到「節點」裏，每一個狀態是一個「節點」，狀態變化的過程就是「邊」。這即是鏈接實際問題和圖論算法的橋樑，理解了這個思想，不少模型創建的困惑就能迎刃而解了，圖論的其餘問題基本都能經過這個思想來建模。

但願個人拋磚引玉能引發更多的思考！ 😄 （蒟蒻鞠躬）。