單調隊列優化DP（超詳細！！！）

1、概念

一、單調隊列定義： 　　

其實單調隊列就是一種隊列內的元素有單調性（單調遞增或者單調遞減）的隊列，答案（也就是最優解）就存在隊首，而隊尾則是最後進隊的元素。由於其單調性因此常常會被用來維護區間最值或者下降DP的維數已達到降維來減小空間及時間的目的。

單調隊列的通常應用： 　　　　

1. 維護區間最值 　　　　
2. 優化DP

【例一】求m區間內的最小值（洛谷 P1440）

題目描述

一個含有n項的數列(n<=2000000)，求出每一項前的m個數到它這個區間內的最小值。若前面的數不足m項則從第1個數開始，若前面沒有數則輸出0。

輸入格式

第一行兩個數n，m。 第二行，n個正整數，爲所給定的數列。

輸出格式

n行，第i行的一個數ai，爲所求序列中第i個數前m個數的最小值。

輸入

6 2

7 8 1 4 3 2

輸出

0 7 7 1 1 3

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 思路：

一、暴力枚舉以i-1爲結尾的前m個數。時間O(n*m)，T T T.

二、rmq求解O(nlog n) 貌似會T

三、線段樹求解 O(nlog n) 當n=1e7時也超時，空間，代碼量大 須要更優的O(n)的解法處理。

四、單調隊列來了 由於每個答案只與當前下標的前m個有關，因此能夠用單調隊列維護前m個的最小值， 　　

考慮如何實現該維護的過程？？ 　　

顯然當前下標X的m個之前的元素（即下標小於X-M+1的元素）確定對答案沒有貢獻，因此能夠將其從單調隊列中刪除。 　　

對於兩個元素A，B，下標分別爲a,b，若是有A>=B&&a<b那麼B留在隊列裏確定優於A，所以能夠將A刪除。 　　 

維護隊首：若是隊首已是當前元素的m個以前，將head++，彈出隊首元素 　　

維護隊尾：比較q[tail]與當前元素的大小，若當前元素更優tail--，彈出隊尾元素，直到能夠知足隊列單調性後加入當前元素。 　　

考慮單調隊列的時間複雜度：因爲每個元素只會進隊和出隊一次，因此爲O（N）。 　　

通常建議用數組模擬單調隊列進行操做，而不用系統自帶的容器，由於系統自帶容器不易調試且可能有爆空間的危險。

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 【 例 2】修剪草坪（信息學奧賽一本通 1599）

【題目描述】

在一年前贏得了小鎮的最佳草坪比賽後，FJ 變得很懶，再也沒有修剪過草坪。如今，新一輪的最佳草坪比賽又開始了，FJ 但願可以再次奪冠。 然而，FJ 的草坪很是髒亂，所以，FJ 只可以讓他的奶牛來完成這項工做。FJ 有 N 只排成一排的奶牛，編號爲 1 到 N。每隻奶牛的效率是不一樣的，奶牛 i的效率爲 Ei 。 靠近的奶牛們很熟悉，若是 FJ 安排超過 K 只連續的奶牛，那麼這些奶牛就會罷工去開派對。所以，如今 FJ 須要你的幫助，計算 FJ 能夠獲得的最大效率，而且該方案中沒有連續的超過 K 只奶牛。

【輸入】

第一行：空格隔開的兩個整數 N和 K； 第二到 N+1 行：第 i+1 行有一個整數 Ei 。

【輸出】

一行一個值，表示 FJ 能夠獲得的最大的效率值。

【輸入樣例】

5 2

1

2

3

4

5

【輸出樣例】

12

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sol：

設 dp[i][0] 表示以 i 結尾而且 i 不選所得的最大效率值

dp[i][1]表示以 i 結尾而且 i 要選所得的最大效率值

S[i]表示前綴和

轉移方程爲：

dp[i][0]=max(dp[i-1][0],dp[i-1][1])

dp[i][1]=max(dp[x][0]+S[i]-S[x]);(i-m≤x<i)

能夠變形爲dp[i][1]=max(dp[x][0]-S[x])+S[i];(i-m≤x<i)

所以dp[i][1]能夠用單調隊列優化，維護隊首爲dp[i][0]-S[i]最大的單調隊列