亂談數學－－傅里葉變換（級數）的原理（一）

做者：唐風

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一直都沒有搞清楚傅里葉變換，那些公式一看就「懂」，但合上書就忘，由於歷來就沒有真正地理解過。但傅里葉變換實在是過重要了，隨手翻一本信號，電路的書，都能看到它的身影，避是避不開的。想要真正的入門電子系統的設計，仍是硬着頭皮繼續捉摸吧。

以前很「排斥」傅里葉變換的一個很重要的緣由是由於「傅里葉變換選擇的是基是三角函數。」，正如以前的博文中寫到，我從中學開始對三角很是反感，因此對傅里葉變換顯然歷來就沒有真正思考和接受過。不過有以前對三角函數的反思，如今也能夠從新對傅里葉變換進行理解。是的，首先就讓本身對「傅里葉變換使用三角函數系作基」有個滿意的解釋。

不知道傅里葉老師本人當時究竟是怎麼想的（究竟是由於他的問題自己對使用三角函數特別有啓發性，仍是靈光一閃），我無從追究（暫時沒有這個精力去看他老爺子的著做），既然傅氏變換能有如此普遍的適用性，那麼三角函數系自己必定有特別的性質，把這個弄清楚就行了。不過，三角函數那些漂亮的數學性質不是本文的重點，這裏我想討論一點「虛」的東西。

從工程中的研究對象來講，咱們處理的函數（或是信號）都是必定的能量的體現，好比電壓，電流，好比力形成的位移等等。若是是很是規律的信號，好比那些初等函數就能夠表示的，那天然是沒什麼好說，全部性質都研究地透透的。不過天然界極少存在這樣理想的信號，咱們遇到的信號都是很是不規律的。好比咱們說話的聲音，轉成電信號（或是數字信號）時，從時域的波形來看簡直就不知道那是些什麼東西。但咱們知道，形成這些信號的「來源」，實際上是能量（或是力，這麼說可能在物理上不必定對，不過能幫助我理解）。咱們若是能把這些能量作線性的分解（線性組合是最簡單的組合關係，因此咱們先儘可能作線性地分解），那麼可能就能找到一些處理這些信號的方法。

分解成一堆恆定（常量）的力是不行的，由於恆定的力帶有的「特性」太少，作線性組合以後的結果仍是恆定的。那麼咱們須要找一種「變化元素（力）」，它不能過於複雜，複雜到對它自己咱們也沒法研究，那就沒有意義了。同時它還得具有比較好的，有表明性的「變化特性」，不然沒法用這些元素來表達豐富的變化。這個「變化元素」的最佳人選是什麼呢？就是簡諧振動的「力」。在簡諧振動中，驅動振動的力的大小是與物體離中心的距離成正比的 F=-kx（x是位移），方向則始終指向振動的中心點。這個力是變化規律是線性的，線性是變化中最簡單的一種了，這個好，並且它還有兩個很好的特徵，一個是它是週期性的，另外一個是它是「相對某一原點對稱的」，太美了！從中學的物理中咱們就知道了，簡諧振動的運動方程正是三角函數，簡諧振動的性質咱們也已經研究得透透的了。而三角函數正是傅里葉變換的基。

是的，就是這樣了，傅里葉變換的就是把一個複雜的信號的「驅動（力）源」，分解成一系列相對簡單的力（簡諧振動）來分析，從信號的形狀（波形）來看，就是把函數分解成一系列的三角函數。這就很好理解的，咱們就是要找到方向，把未知化爲已知，這是一個很好的「方向」，那麼，傅里葉變換下一個問題，就是是否是全部的信號均可以這樣分解呢？反過來講，是否是「簡諧振動」的這種力（能量）的線性組合，能夠組合出全部各類變化的力（能量）呢？

未完待續。