單向鏈表環問題的全面解析（判斷環，環的長度，環的入口）

最近複習面試，遇到鏈表內的環問題，研究了一下，如今記錄一下。廢話很少說，先上圖。

如上圖，一個單向鏈表中若是有環，則其形狀相似於「6」，有一個環的的入口，就是上圖的紫色點。

下面說一下常見的問題的解決辦法及其原理。

一.判斷單鏈表是否有環

使用兩個slow, fast指針從頭開始掃描鏈表。指針slow 每次走1步，指針fast每次走2步。若是存在環，則指針slow、fast會相遇，例如上圖的綠點就是相遇點——鏈表中的第6個點；若是不存在環，指針fast遇到NULL退出。

這裏有個定律：fast和slow必定會環內相遇（1），並且是在slow走完環的第一圈以前相遇（2）。爲何呢？

首先，fast和slow必定會在環內相遇這是顯然的，由於只有在環內，fast纔有可能經過比slow多走一圈而後從後面追上來。那麼爲何會在slow走第一圈時相遇呢？有個直觀解釋。設鏈表中環外的長度是a（上圖中a=2），環內長度是b（上圖b=5），那麼當a=0時，整一個鏈表就是一個大環，fast和slow就會在頭結點、也便是環的終點相遇！由於這時候fast恰好走了兩圈而slow走了一圈。這是極端的狀況，當環的長度變小時，即a!=0時，slow就會在還沒走完一圈的時候被fast追上。這是直觀的解釋，下面能夠用數學嚴謹證實。

設相遇的時候，fast和slow分別走了2l步和l步，由（1）能夠知道，l>a，兩者相遇時有：

                        （l-a） mod b = （2l-a） mod b    （3）

mod是取餘的意思，設（3）同餘c，這時候slow和fast在環上分別走了k1圈和k2圈，這時候有：

                           l - a + c = bk1             （4）

                           2l - a + c= bk2             （5）

首先證實一下slow和fast爲何必定會相遇的問題。（5）式減（4）式有：

                        l = （k2-k1）b                （6）

那麼fast和slow能不能相遇取決於（6）式能不能被知足，顯然這是能夠的，並且有無窮個解。並且第一個解就是k2-k1=1，l=b的時候（7），也就是fast和slow第一次相遇的時候！因爲k1，k2的取值範圍是正整數，因此最小的取值，也就是第一次相遇時的取值一定是k2=2 ,k=1！那麼基本上全部問題迎刃而解。k2=2 ,k=1意味着，fast和slow確定是在fast在走環的第2圈、slow在走環的第1圈的時候第一次相遇！這就解釋了問題（2）。

二.求有環單鏈表的環長

求環長即求b，由（7）知道，b=l，即環長等於slow指針走過的長度。

三.求有環單鏈表的環鏈接點位置

因爲k1 = 1 ，l = b，因此（4）式能夠化簡爲 a = c，c表示的意義是什麼？c表示slow指針還差c步就能夠走完第一圈，即走到環的入口處，a = c 意味着slow指針和頭指針到環入口的距離是同樣的！因此只須要將頭指針和slow指針同時向前移動，相遇點即爲環的入口。

四.求有環單鏈表的鏈表長

即求 a + b = a + l，a和l都可以在上述步驟中求得。

完。