Python解釋數學系列——分位數Quantile

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1. 分位數計算案例與Python代碼

案例1

Ex1： Given a data = [6, 47, 49, 15, 42, 41, 7, 39, 43, 40, 36]，求Q1, Q2, Q3, IQR
Solving：
步驟：
1. 排序，從小到大排列data，data = [6, 7, 15, 36, 39, 40, 41, 42, 43, 47, 49]
2. 計算分位數的位置
3. 給出分位數

分位數計算法一

pos = (n+1)*p，n爲數據的總個數，p爲0-1之間的值
Q1的pos = (11 + 1)*0.25 = 3 (p=0.25) Q1=15
Q2的pos = (11 + 1)*0.5 = 6 (p=0.5) Q2=40
Q3的pos = (11 + 1)*0.75 = 9 (p=0.75) Q3=43
IQR = Q3 - Q1 = 28

import math
def quantile_p(data, p):
    pos = (len(data) + 1)*p
    #pos = 1 + (len(data)-1)*p
    pos_integer = int(math.modf(pos)[1])
    pos_decimal = pos - pos_integer
    Q = data[pos_integer - 1] + (data[pos_integer] - data[pos_integer - 1])*pos_decimal
    return Q

data = [6, 7, 15, 36, 39, 40, 41, 42, 43, 47, 49]
Q1 = quantile_p(data, 0.25)
print("Q1:", Q1)
Q2 = quantile_p(data, 0.5)
print("Q2:", Q2)
Q3 = quantile_p(data, 0.75)
print("Q3:", Q3)

分位數計算法二

pos = 1+ (n-1)\*p，n爲數據的總個數，p爲0-1之間的值 Q1的pos = 1 + (11 - 1)\*0.25 = 3.5 (p=0.25) Q1=25.5 Q2的pos = 1 + (11 - 1)\*0.5 = 6 (p=0.5) Q2=40 Q3的pos = 1 + (11 - 1)\*0.75 = 8.5 (p=0.75) Q3=42.5 ``` import math def quantile_p(data, p): pos = 1 + (len(data)-1)*p pos_integer = int(math.modf(pos)[1]) pos_decimal = pos - pos_integer Q = data[pos_integer - 1] + (data[pos_integer] - data[pos_integer - 1])*pos_decimal return Q data = [6, 7, 15, 36, 39, 40, 41, 42, 43, 47, 49] Q1 = quantile_p(data, 0.25) print("Q1:", Q1) Q2 = quantile_p(data, 0.5) print("Q2:", Q2) Q3 = quantile_p(data, 0.75) print("Q3:", Q3) ``` ## 案例2 給定數據集 data = [7, 15, 36, 39, 40, 41]，求Q1,Q2,Q3

分位數計算法一

import math
def quantile_p(data, p):
    data.sort()
    pos = (len(data) + 1)*p
    pos_integer = int(math.modf(pos)[1])
    pos_decimal = pos - pos_integer
    Q = data[pos_integer - 1] + (data[pos_integer] - data[pos_integer - 1])*pos_decimal
    return Q

data = [7, 15, 36, 39, 40, 41]
Q1 = quantile_p(data, 0.25)
print("Q1:", Q1)
Q2 = quantile_p(data, 0.5)
print("Q2:", Q2)
Q3 = quantile_p(data, 0.75)
print("Q3:", Q3)

計算結果：
Q1 = 7 +（15-7）×（1.75 - 1）= 13
Q2 = 36 +（39-36）×（3.5 - 3）= 37.5
Q3 = 40 +（41-40）×（5.25 - 5）= 40.25

分位數計算法二

結果：
Q1: 20.25
Q2: 37.5
Q3: 39.75

2. 分位數解釋

**四分位數** **概念**：把給定的亂序數值由小到大排列並分紅四等份，處於三個分割點位置的數值就是四分位數。 **第1四分位數 (Q1)**，又稱「較小四分位數」，等於該樣本中全部數值由小到大排列後第25%的數字。 **第2四分位數 (Q2)**，又稱「中位數」，等於該樣本中全部數值由小到大排列後第50%的數字。 **第3四分位數 (Q3)**，又稱「較大四分位數」，等於該樣本中全部數值由小到大排列後第75%的數字。 **四分位距**（InterQuartile Range, IQR）= 第3四分位數與第1四分位數的差距

肯定p分位數位置的兩種方法
position = (n+1)*p
position = 1 + (n-1)*p

3. 分位數在pandas中的解釋

在python中計算分位數位置的方案採用position=1+(n-1)*p

案例1

import pandas as pd
import numpy as np
df = pd.DataFrame(np.array([[1, 1], [2, 10], [3, 100], [4, 100]]), columns=['a', 'b'])
print("數據原始格式：")
print(df)
print("計算p=0.1時，a列和b列的分位數")
print(df.quantile(.1))

程序計算結果：

序號	a	b
0	1	1
1	2	10
2	3	100
3	4	100

計算p=0.1時，a列和b列的分位數
a 1.3
b 3.7
Name: 0.1, dtype: float64

手算計算結果：
計算a列
pos = 1 + (4 - 1)*0.1 = 1.3
fraction = 0.3
ret = 1 + (2 - 1) * 0.3 = 1.3
計算b列
pos = 1.3
ret = 1 + (10 - 1)* 0.3 = 3.7

案例二

利用pandas庫計算data = [6, 47, 49, 15, 42, 41, 7, 39, 43, 40, 36]的分位數。

import pandas as pd
import numpy as np
dt = pd.Series(np.array([6, 47, 49, 15, 42, 41, 7, 39, 43, 40, 36])
print("數據格式：")
print(dt)
print('Q1:', df.quantile(.25))
print('Q2:', df.quantile(.5))
print('Q3:', df.quantile(.75))

計算結果
Q1: 25.5
Q2: 40.0
Q3: 42.5

4. 歸納總結

自定義分位數python代碼程序

import math
def quantile_p(data, p, method=1):
    data.sort()
    if method == 2:
        pos = 1 + (len(data)-1)*p
    else:
        pos = (len(data) + 1)*p
    pos_integer = int(math.modf(pos)[1])
    pos_decimal = pos - pos_integer
    Q = data[pos_integer - 1] + (data[pos_integer] - data[pos_integer - 1])*pos_decimal
    Q1 = quantile_p(data, 0.25)
    Q2 = quantile_p(data, 0.5)
    Q3 = quantile_p(data, 0.75)
    IQR = Q3 - Q1
    return Q1, Q2, Q3, IQR

pandas中的分位數程序

直接調用.quantile(p)方法，就能夠計算出分位數，採用method=2方法。

參考文獻：

1. 分位數概念
2. pandas中的quantile