【OI備忘錄】trick彙總帖

OI中的那些實用的小trick

在OI中，咱們時常會用到一些小技巧，不管是代碼方面仍是數學方面抑或是卡常，都有不少不錯的小技巧。

鄙人不才，每每沒辦法想出來，因而就有了這篇彙總帖~

若有疏漏，還請dalao指教！

1. 結論：\(gcd(F[n],F[m])=F[gcd(n,m)]\)，其中F爲斐波那契數列

   \(\quad\)證實：

   　　咱們設\(n<m\)，\(F[n]=a\)和\(F[n+1]=b\)。

   　　則\(F[n+2]=a+b,F[n+3]=a+2b,…F[m]=F[m-n-1]a+F[m-n]b\)

   　　\(\because \quad F[n]=a,F[n+1]=b,F[m]=F[m-n-1]a+F[m-n]b\)

   　　\(\therefore \quad F[m]=F[m-n-1]*F[n]+F[m-n]*F[n+1]\)

   　　又\(\because \quad gcd(F[n],F[m])=gcd(F[n],F[m-n-1]\)

   　　而\(F[n]|F[m-n-1]\)

   　　\(\therefore \quad gcd(F[n],F[m])=gcd(F[n],F[m-n]\)

   　　引理：\(gcd(F[n],F[n+1])=1\)

   　　　證：由歐幾里德定理知

   　　　　　\(gcd(F[n],F[n+1])=gcd(F[n],F[n+1]-F[n])=gcd(F[n],F[n-1])\)

   　　　　　　　　　　　　\(=gcd(F[n-2],F[n-1])\)

   　　　　　　　　　　　　\(…………\)

   　　　　　　　　　　　　\(=gcd(F[1],F[2])=1\)

   　　　　$ \therefore \quad gcd(F[n],F[n+1])=1$

   　　由引理知：

   　　\(F[n],F[n+1]\)互質

   　　而\(gcd(F[n],F[m])=gcd(F[n],F[m-n]*F[n+1])\)

   　　\(\therefore \quad gcd(F[n],F[m])=gcd(F[n],F[m-n])\)

   　　即\(gcd(F[n],F[m])=gcd(F[n],F[m\;mod\;n])\)

   　　繼續遞歸，將\(m1=m\;mod\;n\)，則\(gcd(F[n],F[m])=gcd(F[n\;mod\;m1],F[m1])\)

   　　\(……\)

   　　不難發現，整個遞歸過程其實就是在求解\(gcd(n,m)\)

   　　最後遞歸到出現\(F[0]\)時，此時的\(F[n]\)就是所求gcd。

   　　\(\therefore \quad gcd(F[n],F[m])=F[gcd(n,m)]\)

2. 分層圖

   \(\quad\)分層圖是一種常見的圖論技巧。經常使用於圖中存在某些限制的狀況。具體而言，就是建圖時將圖按照不一樣的限制條件分層幾層，其間有一些有向邊鏈接，這些有向邊通常表明着當前限制條件的狀態的改變。這個技巧能夠省掉不少特判或者別的的麻煩事，你只用在建好的圖上作通常操做就能夠了。

不間斷更新~