詳解主席樹(可持久化線段樹)

主席樹

前置知識：權值線段樹。

主席樹也就是可持久化線段樹，它能夠幹嗎呢？咱們看這樣一道題目。

題目描述

給定N個正整數構成的序列，將對於指定的閉區間查詢其區間內的第K小值。
數據範圍：\(1≤N,M≤2⋅10^5,-10^9≤a_i≤10^9\)
咱們都知道權值線段樹能夠求全局第K大，可是不能求區間第K大，那遇到區間第K大如何處理呢？
區間？差分？對，咱們能夠用差分，權值線段樹差分。
假設有這樣一組數據
4 5
6 2 19 8
2 2 1
3 4 1
3 4 2
1 2 2
4 4 1
咱們先離散，這是權值線段樹基本操做把數列變爲2,1,4,3看到有重複的也要去重。咱們看圖怎麼實現：這是在線開點的線段樹，因此兒子序號並不必定是父親節點序號2倍或2倍+1

這是離散事後的權值線段樹(空樹)，紅色數字表明這區間有幾個數。
咱們開始加樹進去，第一個數6，離散後是2，就把全部包含2的區間 個數+1，變成這樣一張圖。

再加入2，離散後1,把全部包含1的區間個數+1.如圖：

再加入19，離散後是4，把全部包含4的區間個數+1，如圖：

再加入8，離散後是3，把全部包含3的區間個數+1，如圖：

建完樹了，咱們每次開一顆線段樹都記錄下來，因此點的序號並非我圖中的序號*。這樣咱們獲得了5顆線段樹，假設看第一個詢問2,2,1，咱們只須要用第2顆線段樹減去第1顆線段樹這樣就能夠獲得區間[2,2]的值分佈狀況接下來，就能夠用權值線段樹的方法，求區間第K大了。
可是咱們能夠發現，要建n顆線段樹，那麼空間複雜度變成\(n^2\)，炸穿，須要優化。
容易發現，每次加入一個點，發現只會更改線段樹上一條路上的值，其餘的咱們能夠鏈上之前的點。空間複雜度\(nlogn\)。完美。

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll a[2001000],hash[2010010],tot,root[2010010];
//root[],存下每一顆線段樹的根
struct TREE
{
    ll ln,rn,zhi;
}t[10010100];//ln左兒子,rn右兒子，zhi表明有多少個點在這個區間
void gai(ll &node,ll last,ll l,ll r,ll x)
{
    node=++tot;//在線開點
    t[node]=t[last];
    t[node].zhi++;
    if(l==r) return;
    ll mid=(l+r)/2;
    if(x<=mid) gai(t[node].ln,t[last].ln,l,mid,x);
    else gai(t[node].rn,t[last].rn,mid+1,r,x);
}
ll cha(ll node,ll last,ll l,ll r,ll k)
{
    if(l==r) return a[l];
    ll p=t[t[node].ln].zhi-t[t[last].ln].zhi;//差分
    ll mid=(l+r)/2;
    if(k<=p) return cha(t[node].ln,t[last].ln,l,mid,k);
    else return cha(t[node].rn,t[last].rn,mid+1,r,k-p);
}
int main()
{
    ll n,m,x,y,k;
    cin>>n>>m;
    for(ll i=1;i<=n;i++)
    scanf("%lld",&a[i]),hash[i]=a[i];
    sort(a+1,a+1+n);
    ll tt=unique(a+1,a+1+n)-a-1;//排序後，去重
    for(ll i=1;i<=n;i++)
    {
        hash[i]=lower_bound(a+1,a+1+tt,hash[i])-a;//二分找出，這個點離散後的值。
        gai(root[i],root[i-1],1,tt,hash[i]);//根據上一次獲得的線段樹，修改值。
    }
    for(ll i=1;i<=m;i++)
    {
        scanf("%lld%lld%lld",&x,&y,&k);
        printf("%lld\n",cha(root[y],root[x-1],1,tt,k));//差分
    }
}

其實主席樹能夠帶修改，詳細看個人另外一篇博客。
題目連接
可持久化線段樹(主席樹模板)
可憐的狗狗
Count on a tree
Query on a tree III

博主蒟蒻，能夠隨意轉載，但必須附上原文連接k-z-j。