【每日算法】貪心決策原排序數組的每一位，以及貪心解的正確性證實｜Python 主題月

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題目描述

這是 LeetCode 上的 1846. 減少和從新排列數組後的最大元素 ，難度爲 中等。

Tag : 「貪心」

給你一個正整數數組 arr 。請你對 arr 執行一些操做（也能夠不進行任何操做），使得數組知足如下條件：

• arr 中 第一個 元素必須爲 1 。
• 任意相鄰兩個元素的差的絕對值 小於等於 1 ，也就是說，對於任意的 1 <= i < arr.length （數組下標從 0 開始），都知足 abs(arr[i] - arr[i - 1]) <= 1 。abs(x) 爲 x 的絕對值。

你能夠執行如下 2 種操做任意次：

• 減少 arr 中任意元素的值，使其變爲一個 更小的正整數 。
• 從新排列 arr 中的元素，你能夠以任意順序從新排列。

請你返回執行以上操做後，在知足前文所述的條件下，arr 中可能的 最大值 。

示例 1：

輸入：arr = [2,2,1,2,1]

輸出：2

解釋：
咱們能夠從新排列 arr 獲得 [1,2,2,2,1] ，該數組知足全部條件。
arr 中最大元素爲 2 。
複製代碼

示例 2：

輸入：arr = [100,1,1000]

輸出：3

解釋：
一個可行的方案以下：
1. 從新排列 arr 獲得 [1,100,1000] 。
2. 將第二個元素減少爲 2 。
3. 將第三個元素減少爲 3 。
如今 arr = [1,2,3] ，知足全部條件。
arr 中最大元素爲 3 。
複製代碼

示例 3：

輸入：arr = [1,2,3,4,5]

輸出：5

解釋：數組已經知足全部條件，最大元素爲 5 。
複製代碼

提示：

• 1 <= arr.length <= $10^5$

1 <= arr[i] <= $10^9$

基本分析 & 證實

根據題意，數組的第一位必須是 $1$，且每一個數只能 減少 或 不變，數值位置能夠任意調整。

求解通過調整後，符合要求的數組中的最大值是多少。

首先符合條件的數組相鄰位差值絕對值不超過 $1$，這限定了數組的必然是以下三種分佈之一：

• （非嚴格）單調遞減
• 存在波段
• （非嚴格）單調遞增

證實一：取得最優解對應的數組「必然是」或者「可調整爲」（非嚴格）單調遞增的形式。

咱們使用反證法來證實另外兩種分佈不能取得最優解：

• （非嚴格）單調遞減：題目限定了數的範圍爲正整數，且第一位爲 $1$，這種狀況不用討論了，跳過；
• 存在波段：咱們始終能夠將波峯的右側出現的值，歸入到波峯的左側，從而消掉這個波峯，最終將整個分佈調整爲「（非嚴格）單調遞增」的形式，結果不會變差：

多個波段的狀況也是同理，能夠本身在紙上畫畫。

都是利用 波峯右側的點能夠調整成波峯左側的點，從而使分佈變爲（非嚴格）單調遞增。

至此，咱們證實了最優解對應的數組必然符合（非嚴格）單調遞增。

這啓發咱們能夠先對原數組排個序，在此基礎上進行分析。

對原數組排序獲得的有序數組，不必定是符合「相鄰位差值絕對值不超過 $1$」的，同時因爲每一個數值能夠選擇 減少 或 不變。

證實二：當必需要對當前位進行調整的時，優先選擇調整爲「與前一值差值爲 $1$ 的較大數」不會比調整爲「與前一差值爲 $0$ 的較小數」更差。

這可使用概括推理，假設採起「優先調整爲與前一值差值爲 $1$ 的較大數」獲得的序列爲 a，採用「優先調整與前一差值爲 $0$ 的較小數」獲得的序列爲 b。

根據「 $a[0] = b[0] = 1$」、「a 和 b 長度一致」、「a 和 b 均爲（非嚴格）單調遞增」以及「a 和 b 均知足相鄰位差值不超過 $1$」，可推導出 $sum(a) >= sum(b)$，和任意位置 $a[i] >= b[i]$，從而推導出 a 序列的最後一位必然大於等於 b 的最後一位。

即 b 不會比 a 更優。

證實三：調整大小的操做不會改變數組元素之間的相對位置關係。

在證實二的分析中，咱們會對某些元素進行「減少」操做，使得整個數組最終知足「相鄰位差值絕對值不超過 $1$」。

但該證實成立的還有一個很重要的前提條件，就是調整操做不會出發元素的位置重排。

那麼該前提條件是否必然成立呢？答案是必然成立。

假設原排序數組中存在須要調整的點 $i$ 和點 $j$，且 $nums[i] <= nums[j]$。

爲了讓數組知足條件，它們都進行了「減小」操做的調整，分別變爲了 $p$ 和 $q$，若是觸發位置重排的話，必然有 $nums[p] >= nums[q]$。

此時，咱們可以經過調整它們的變化關係：點 $i$ 變爲點 $q$、點 $j$ 變成點 $p$ 來確保一樣知足條件，且不觸發元素在有序數組中的位置重排。

貪心

排序，限定第一位值爲 $1$，從前日後處理，根據每一位是否「必須修改（與上一位差值是否大於 $1$）」作決策，若是必須被修改，則修改成與前一值差值爲 $1$ 的較大數。

Java 代碼：

class Solution {
    public int maximumElementAfterDecrementingAndRearranging(int[] arr) {
        int n = arr.length;
        Arrays.sort(arr);
        arr[0] = 1;
        for (int i = 1; i < n; i++) {
            if (arr[i] - arr[i - 1] > 1) {
                arr[i] = arr[i - 1] + 1;
            }
        }
        return arr[n - 1];
    }
}
複製代碼

Python 3 代碼：

class Solution:
    def maximumElementAfterDecrementingAndRearranging(self, arr: List[int]) -> int:
        n = len(arr)
        arr.sort()
        arr[0] = 1
        for i in range(1, n):
            if arr[i] - arr[i - 1] > 1:
                arr[i] = arr[i - 1] + 1
        return arr[n - 1]
複製代碼

• 時間複雜度：假定 Arrays.sort 使用的是雙軸快排實現。複雜度爲 $O(n\log{n})$
• 空間複雜度：假定 Arrays.sort 使用的是雙軸快排實現。複雜度爲 $O(\log{n})$

最後

這是咱們「刷穿 LeetCode」系列文章的第 No.1846 篇，系列開始於 2021/01/01，截止於起始日 LeetCode 上共有 1916 道題目，部分是有鎖題，咱們將先把全部不帶鎖的題目刷完。

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