如何用Python和深度神經網絡鎖定即將流失的客戶？

Python深度學習簡明實戰教程來了。別猶豫了，趕忙從零開始，搭建你本身的第一個深度學習模型吧！

想不想了解如何用Python快速搭建深度神經網絡，完成數據分類任務？本文一步步爲你展現這一過程，讓你初步領略深度學習模型的強大和易用。

煩惱

做爲一名數據分析師，你來到這家跨國銀行工做已經半年了。

今天上午，老闆把你叫到辦公室，面色凝重。

你內心直打鼓，覺得本身捅了什麼簍子。幸虧老闆的話讓你很快打消了顧慮。

他發愁，是由於最近歐洲區的客戶流失嚴重，許多客戶都跑到了競爭對手那裏接受服務了。老闆問你該怎麼辦？

你脫口而出「作好客戶關係管理啊！」

老闆看了你一眼，緩慢地說「咱們想知道哪些客戶最可能在近期流失」。

沒錯，在有魚的地方釣魚，纔是上策。

你明白了本身的任務——經過數據鎖定即將流失的客戶。這個工做，確實是你這個數據分析師份內的事兒。

你很慶幸，這半年作了不少的數據動態採集和整理工做，使得你手頭就有一個比較完備的客戶數據集。

下面你須要作的，就是如何從數據中「沙裏淘金」，找到那些最可能流失的客戶。

但是，該怎麼作呢？

你拿出歐洲區客戶的數據，端詳起來。

客戶主要分佈在法國、德國和西班牙。

你手裏掌握的信息，包括他們的年齡、性別、信用、辦卡信息等。客戶是否已流失的信息在最後一列（Exited）。

怎麼用這些數據來判斷顧客是否會流失呢？

以你的專業素養，很容易就判斷出這是一個分類問題，屬於機器學習中的監督式學習。可是，你以前並無作過實際項目，該如何着手呢？

別發愁，我一步步給你演示如何用Python和深度神經網絡（或者叫「深度學習」）來完成這個分類任務，幫你鎖定那些即將流失的客戶。

環境

工欲善其事，必先利其器。咱們先來安裝和搭建環境。

首先是安裝Python。

請到這個網址下載Anaconda的最新版本。

請選擇左側的Python 3.6版本下載安裝。

其次是新建文件夾，起名爲demo-customer-churn-ann，而且從這個連接下載數據，放到該文件夾下。

（注：樣例數據來自於匿名化處理後的真實數據集，下載自superdatascience官網。）

打開終端（或者命令行工具），進入demo-customer-churn-ann目錄，執行如下命令：

jupyter notebook
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瀏覽器中會顯示以下界面：

點擊界面右上方的New按鈕，新建一個Python 3 Notebook，起名爲customer-churn-ann。

準備工做結束，下面咱們開始清理數據。

清理

首先，讀入數據清理最經常使用的pandas和numpy包。

import numpy as np
import pandas as pd
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從customer_churn.csv裏讀入數據：

df = pd.read_csv('customer_churn.csv')
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看看讀入效果如何：

df.head()
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這裏咱們使用了head()函數，只顯示前5行。

能夠看到，數據完整無誤讀入。可是並不是全部的列都對咱們預測用戶流失有做用。咱們一一甄別一下：

• RowNumber：行號，這個確定沒用，刪除
• CustomerID：用戶編號，這個是順序發放的，刪除
• Surname：用戶姓名，對流失沒有影響，刪除
• CreditScore：信用分數，這個很重要，保留
• Geography：用戶所在國家/地區，這個有影響，保留
• Gender：用戶性別，可能有影響，保留
• Age：年齡，影響很大，年輕人更容易切換銀行，保留
• Tenure：當了本銀行多少年用戶，很重要，保留
• Balance：存貸款狀況，很重要，保留
• NumOfProducts：使用產品數量，很重要，保留
• HasCrCard：是否有本行信用卡，很重要，保留
• IsActiveMember：是否活躍用戶，很重要，保留
• EstimatedSalary：估計收入，很重要，保留
• Exited：是否已流失，這將做爲咱們的標籤數據

上述數據列甄別過程，就叫作「特徵工程」（Feature Engineering），這是機器學習裏面最經常使用的數據預處理方法。若是咱們的數據量足夠大，機器學習模型足夠複雜，是能夠跳過這一步的。可是因爲咱們的數據只有10000條，還須要手動篩選特徵。

選定了特徵以後，咱們來生成特徵矩陣X，把剛纔咱們決定保留的特徵都寫進來。

X = df.loc[:,['CreditScore', 'Geography', 'Gender', 'Age', 'Tenure', 'Balance', 'NumOfProducts', 'HasCrCard', 'IsActiveMember', 'EstimatedSalary']]
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看看特徵矩陣的前幾行：

X.head()
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顯示結果以下：

2017-11-19_19-2-2_snapshots-01.jpg

特徵矩陣構建準確無誤，下面咱們構建目標數據y，也就是用戶是否流失。

y = df.Exited
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y.head()
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0    1
1    0
2    1
3    0
4    0
Name: Exited, dtype: int64
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此時咱們須要的數據基本上齊全了。可是咱們發現其中有幾列數據還不符合咱們的要求。

要作機器學習，只能給機器提供數值，而不能是字符串。但是看看咱們的特徵矩陣：

X.head()
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2017-11-19_19-2-2_snapshots-01.jpg

顯然其中的Geography和Gender兩項數據都不符合要求。它們都是分類數據。咱們須要作轉換，把它們變成數值。

在Scikit-learn工具包裏面，專門提供了方便的工具LabelEncoder，讓咱們能夠方便地將類別信息變成數值。

from sklearn.preprocessing import LabelEncoder, OneHotEncoder
labelencoder1 = LabelEncoder()
X.Geography= labelencoder1.fit_transform(X.Geography)
labelencoder2 = LabelEncoder()
X.Gender = labelencoder2.fit_transform(X.Gender)
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咱們須要轉換兩列，因此創建了兩個不一樣的labelencoder。轉換的函數叫作fit_transform。

通過轉換，此時咱們再來看看特徵矩陣的樣子：

X.head()
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2017-11-19_19-2-11_snapshots-03.jpg

顯然，Geography和Gender這兩列都從原先描述類別的字符串，變成了數字。

這樣是否是就完事大吉了呢？

不對，Gender還好說，只有兩種取值方式，要麼是男，要麼是女。咱們能夠把「是男性」定義爲1，那麼女性就取值爲0。兩種取值只是描述類別不一樣，沒有歧義。

而Geography就不一樣了。由於數據集裏面可能的國家地區取值有3種，因此就轉換成了0（法國）、1（德國）、2（西班牙）。問題是，這三者之間真的有序列（大小）關係嗎？

答案天然是否認的。咱們其實仍是打算用數值描述分類而已。可是取值有數量的序列差別，就會給機器帶來歧義。它並不清楚不一樣的取值只是某個國家的代碼，可能會把這種大小關係帶入模型計算，從而產生錯誤的結果。

解決這個問題，咱們就須要引入OneHotEncoder。它也是Scikit-learn提供的一個類，能夠幫助咱們把類別的取值轉變爲多個變量組合表示。

我們這個數據集裏，能夠把3個國家分別用3個數字組合來表示。例如法國從原先的0，變成(1, 0, 0)，德國從1變成(0, 1, 0)，而西班牙從2變成(0, 0, 1)。

這樣，不再會出現0和1以外的數字來描述類別，從而避免機器產生誤會，錯把類別數字當成大小來計算了。

特徵矩陣裏面，咱們只須要轉換國別這一列。由於它在第1列的位置（從0開始計數），於是categorical_features只填寫它的位置信息。

onehotencoder = OneHotEncoder(categorical_features = [1])
X = onehotencoder.fit_transform(X).toarray()
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這時候，咱們的特徵矩陣數據框就被轉換成了一個數組。注意全部被OneHotEncoder轉換的列會排在最前面，而後纔是那些保持原樣的數據列。

咱們只看轉換後的第一行：

X[0]
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array([  1.00000000e+00,   0.00000000e+00,   0.00000000e+00,
         6.19000000e+02,   0.00000000e+00,   4.20000000e+01,
         2.00000000e+00,   0.00000000e+00,   1.00000000e+00,
         1.00000000e+00,   1.00000000e+00,   1.01348880e+05])
複製代碼

這樣，總算轉換完畢了吧？

沒有。

由於本例中，OneHotEncoder轉換出來的3列數字，其實是不獨立的。給定其中兩列的信息，你本身均可以計算出其中的第3列取值。

比如說，某一行的前兩列數字是(0, 0)，那麼第三列確定是1。由於這是轉換規則決定的。3列裏只能有1個是1，其他都是0。

若是你作過多元線性迴歸，應該知道這種狀況下，咱們是須要去掉其中一列，才能繼續分析的。否則會落入「虛擬變量陷阱」（dummy variable trap）。

咱們刪掉第0列，避免掉進坑裏。

X = np.delete(X, [0], 1)
複製代碼

再次打印第一行：

X[0]
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array([  0.00000000e+00,   0.00000000e+00,   6.19000000e+02,
         0.00000000e+00,   4.20000000e+01,   2.00000000e+00,
         0.00000000e+00,   1.00000000e+00,   1.00000000e+00,
         1.00000000e+00,   1.01348880e+05])
複製代碼

檢查完畢，如今我們的特徵矩陣處理基本完成。

可是監督式學習，最重要的是有標籤(label)數據。本例中的標籤就是用戶是否流失。咱們目前的標籤數據框，是這個樣子的。

y.head()
複製代碼

0    1
1    0
2    1
3    0
4    0
Name: Exited, dtype: int64
複製代碼

它是一個行向量，咱們須要把它先轉換成爲列向量。你能夠想象成把它「豎過來」。

y = y[:, np.newaxis]
y
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array([[1],
       [0],
       [1],
       ...,
       [1],
       [1],
       [0]])
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這樣在後面訓練的時候，他就能夠和前面的特徵矩陣一一對應來操做計算了。

既然標籤表明了類別，咱們也把它用OneHotEncoder轉換，這樣方便咱們後面作分類學習。

onehotencoder = OneHotEncoder()
y = onehotencoder.fit_transform(y).toarray()
複製代碼

此時的標籤變成兩列數據，一列表明顧客存留，一列表明顧客流失。

y
複製代碼

array([[ 0.,  1.],
       [ 1.,  0.],
       [ 0.,  1.],
       ...,
       [ 0.,  1.],
       [ 0.,  1.],
       [ 1.,  0.]])
複製代碼

整體的數據已經齊全了。可是咱們不能把它們都用來訓練。

這就好像老師不該該把考試題目拿來給學生作做業和練習同樣。只有考學生沒見過的題，才能區分學生是掌握了正確的解題方法，仍是死記硬背了做業答案。

咱們拿出20%的數據，放在一邊，等着用來作測試。其他8000條數據用來訓練機器學習模型。

from sklearn.model_selection import train_test_split
X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y, test_size = 0.2, random_state = 0)
複製代碼

咱們看看訓練集的長度：

len(X_train)
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8000
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再看看測試集的長度：

len(X_test)
複製代碼

2000
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確認無誤。

是否是能夠開始機器學習了？

能夠，可是下面這一步也很關鍵。咱們須要把數據進行標準化處理。由於原先每一列數字的取值範圍都各不相同，所以有的列方差要遠遠大於其餘列。這樣對機器來講，也是很困擾的。數據的標準化處理，能夠在保持列內數據多樣性的同時，儘可能減小不一樣類別之間差別的影響，可讓機器公平對待所有特徵。

咱們調用Scikit-learn的StandardScaler類來完成這一過程。

from sklearn.preprocessing import StandardScaler
sc = StandardScaler()
X_train = sc.fit_transform(X_train)
X_test = sc.transform(X_test)
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注意，咱們只對特徵矩陣作標準化，標籤是不能動的。另外訓練集和測試集須要按照統一的標準變化。因此你看，訓練集上，咱們用了fit_transform函數，先擬合後轉換；而在測試集上，咱們直接用訓練集擬合的結果，只作轉換。

X_train
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array([[-0.5698444 ,  1.74309049,  0.16958176, ...,  0.64259497,
        -1.03227043,  1.10643166],
       [ 1.75486502, -0.57369368, -2.30455945, ...,  0.64259497,
         0.9687384 , -0.74866447],
       [-0.5698444 , -0.57369368, -1.19119591, ...,  0.64259497,
        -1.03227043,  1.48533467],
       ...,
       [-0.5698444 , -0.57369368,  0.9015152 , ...,  0.64259497,
        -1.03227043,  1.41231994],
       [-0.5698444 ,  1.74309049, -0.62420521, ...,  0.64259497,
         0.9687384 ,  0.84432121],
       [ 1.75486502, -0.57369368, -0.28401079, ...,  0.64259497,
        -1.03227043,  0.32472465]])
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你會發現，許多列的方差比原先小得多。機器學習起來，會更加方便。

數據清理和轉換工做至此完成。

決策樹

若是讀過個人《貸仍是不貸：如何用Python和機器學習幫你決策？》一文，你應該有一種感受——這個問題和貸款審批決策很像啊！既然在該文中，決策樹很好使，咱們繼續用決策樹不就行了？

好的，咱們先測試一下經典機器學習算法表現如何。

從Scikit-learn中，讀入決策樹工具。而後擬合訓練集數據。

from sklearn import tree
clf = tree.DecisionTreeClassifier()
clf = clf.fit(X_train, y_train)
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而後，利用咱們創建的決策樹模型作出預測。

y_pred = clf.predict(X_test)
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打印預測結果：

y_pred
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array([[ 1.,  0.],
       [ 0.,  1.],
       [ 1.,  0.],
       ...,
       [ 1.,  0.],
       [ 1.,  0.],
       [ 0.,  1.]])
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這樣看不出來什麼。讓咱們調用Scikit-learn的classification_report模塊，生成分析報告。

from sklearn.metrics import classification_report
print(classification_report(y_test, y_pred))
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precision    recall  f1-score   support
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0       0.89      0.86      0.87      1595
          1       0.51      0.58      0.54       405
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avg / total       0.81      0.80      0.81      2000
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經檢測，決策樹在我們的數據集上，表現得仍是不錯的。整體的準確率爲0.81，召回率爲0.80，f1分數爲0.81，已經很高了。對10個客戶作流失可能性判斷，它有8次都能判斷正確。

可是，這樣是否足夠？

咱們或許能夠調整決策樹的參數作優化，嘗試改進預測結果。

或者咱們能夠採用深度學習。

深度

深度學習的使用場景，每每是由於原有的模型經典機器學習模型過於簡單，沒法把握複雜數據特性。

我不許備給你講一堆數學公式，我們動手作個實驗。

請你打開這個網址。

你會看到以下圖所示的深度學習遊樂場：

右側的圖形，裏面是藍色數據，外圈是黃色數據。你的任務就是要用模型分類兩種不一樣數據。

你說那還不容易？我一眼就看出來了。

你看出來沒有用。經過你的設置，讓機器也能正確區分，纔算數。

圖中你看到許多加減號。我們就經過操縱它們來玩兒一玩兒模型。

首先，點圖中部上方的"2 HIDDEN LAYERS"左側減號，把中間隱藏層數下降爲1。

而後，點擊"2 neurons"上面的減號，把神經元數量減小爲1。

把頁面上方的Activation函數下拉框打開，選擇「Sigmoid」。

如今的模型，其實就是經典的邏輯迴歸（Logistic Regression）。

點擊左上方的運行按鈕，咱們看看執行效果。

因爲模型過於簡單，因此機器絞盡腦汁，試圖用一條直線切分二維平面上的兩類節點。

損失(loss)居高不下。訓練集和測試集損失都在0.4左右，顯然不符合咱們的分類需求。

下面咱們試試增長層數和神經元數量。此次點擊加號，把隱藏層數加回到2，兩層神經元數量都取2。

再次點擊運行。

通過一段時間，結果穩定了下來，你發現此次電腦用了兩條線，把平面切分紅了3部分。

測試集損失降低到了0.25左右，而訓練集損失更是下降到了0.2如下。

模型複雜了，效果彷佛更好一些。

再接再礪，咱們把第一個隱藏層的神經元數量增長爲4看看。

點擊運行，不一下子有趣的事情就發生了。

機器用一條近乎完美的曲線把平面分紅了內外兩個部分。測試集和訓練集損失都極速降低，訓練集損失甚至接近於0。

這告訴咱們，許多時候模型過於簡單帶來的問題，能夠經過加深隱藏層次、增長神經元的方法提高模型複雜度，加以改進。

目前流行的劃分方法，是用隱藏層的數量多少來區分是否「深度」。當神經網絡中隱藏層數量達到3層以上時，就被稱爲「深度神經網絡」，或者「深度學習」。

久聞大名的深度學習，原來就是這麼簡單。

若是有時間的話，建議你本身在這個遊樂場裏多動手玩兒一玩兒。你會很快對神經網絡和深度學習有個感性認識。

框架

遊樂場背後使用的引擎，就是Google的深度學習框架Tensorflow。

所謂框架，就是別人幫你構造好的基礎軟件應用。你能夠經過調用它們，避免本身重複發明輪子，大幅度節省時間，提高效率。

支持Python語言的深度學習的框架有不少，除了Tensorflow外，還有PyTorch, Theano和MXNet等。

我給你的建議是，找到一個你喜歡的軟件包，深刻學習使用，不斷實踐來提高本身的技能。千萬不要跟別人爭論哪一個深度學習框架更好。一來蘿蔔白菜各有所愛，每一個人都有本身的偏好；二來深度學習的江湖水很深，言多有失。說錯了話，別的門派可能會不高興喲。

我比較喜歡Tensorflow。可是Tensorflow自己是個底層庫。雖然隨着版本的更迭，界面愈來愈易用。可是對初學者來講，許多細節依然有些過於瑣碎，不容易掌握。

初學者的耐心有限，挫折過多容易放棄。

幸虧，還有幾個高度抽象框架，是創建在Tensorflow之上的。若是你的任務是應用現成的深度學習模型，那麼這些框架會給你帶來很是大的便利。

這些框架包括Keras, TensorLayer等。我們今天將要使用的，叫作TFlearn。

它的特色，就是長得很像Scikit-learn。這樣若是你熟悉經典機器學習模型，學起來會特別輕鬆省力。

實戰

閒話就說這麼多，下面我們繼續寫代碼吧。

寫代碼以前，請回到終端下，運行如下命令，安裝幾個軟件包：

pip install tensorflow
pip install tflearn
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執行完畢後，回到Notebook裏。

咱們呼叫tflearn框架。

import tflearn
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而後，咱們開始搭積木同樣，搭神經網絡層。

首先是輸入層。

net = tflearn.input_data(shape=[None, 11])
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注意這裏的寫法，由於咱們輸入的數據，是特徵矩陣。而通過咱們處理後，特徵矩陣如今有11列，所以shape的第二項寫11。

shape的第一項，None，指的是咱們要輸入的特徵矩陣行數。由於咱們如今是搭建模型，後面特徵矩陣有可能一次輸入，有可能分紅組塊輸入，長度可大可小，沒法事先肯定。因此這裏填None。tflearn會在咱們實際執行訓練的時候，本身讀入特徵矩陣的尺寸，來處理這個數值。

下面咱們搭建隱藏層。這裏咱們要使用深度學習，搭建3層。

net = tflearn.fully_connected(net, 6, activation='relu')
net = tflearn.fully_connected(net, 6, activation='relu')
net = tflearn.fully_connected(net, 6, activation='relu')
複製代碼

activation剛纔在深度學習遊樂場裏面咱們遇到過，表明激活函數。若是沒有它，全部的輸入輸出都是線性關係。

Relu函數是激活函數的一種。它大概長這個樣子。

若是你想了解激活函數的更多知識，請參考後文的學習資源部分。

隱藏層裏，每一層咱們都設置了6個神經元。其實至今爲之，也不存在最優神經元數量的計算公式。工程界的一種作法，是把輸入層的神經元數量，加上輸出層神經元數量，除以2取整。我們這裏就是用的這種方法，得出6個。

搭好了3箇中間隱藏層，下面咱們來搭建輸出層。

net = tflearn.fully_connected(net, 2, activation='softmax')
net = tflearn.regression(net)
複製代碼

這裏咱們用兩個神經元作輸出，而且說明使用迴歸方法。輸出層選用的激活函數爲softmax。處理分類任務的時候，softmax比較合適。它會告訴咱們每一類的可能性，其中數值最高的，能夠做爲咱們的分類結果。

積木搭完了，下面咱們告訴TFlearn，以剛剛搭建的結構，生成模型。

model = tflearn.DNN(net)
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有了模型，咱們就可使用擬合功能了。你看是否是跟Scikit-learn的使用方法很類似呢？

model.fit(X_train, y_train, n_epoch=30, batch_size=32, show_metric=True)
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注意這裏多了幾個參數，咱們來解釋一下。

• n_epoch：數據訓練幾個輪次。
• batch_size：每一次輸入給模型的數據行數。
• show_metric：訓練過程當中要不要打印結果。

如下就是電腦輸出的最終訓練結果。其實中間運行過程看着更激動人心，你本身試一下就知道了。

Training Step: 7499  | total loss: 0.39757 | time: 0.656s
| Adam | epoch: 030 | loss: 0.39757 - acc: 0.8493 -- iter: 7968/8000
Training Step: 7500  | total loss: 0.40385 | time: 0.659s
| Adam | epoch: 030 | loss: 0.40385 - acc: 0.8487 -- iter: 8000/8000
--
複製代碼

咱們看到訓練集的損失(loss)大概爲0.4左右。

打開終端，咱們輸入

tensorboard --logdir=/tmp/tflearn_logs/
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而後在瀏覽器裏輸入http://localhost:6006/

能夠看到以下界面：

這是模型訓練過程的可視化圖形，能夠看到準確度的攀升和損失下降的曲線。

打開GRAPHS標籤頁，咱們能夠查看神經網絡的結構圖形。

咱們搭積木的過程，在此處一目瞭然。

評估

訓練好了模型，咱們來嘗試作個預測吧。

看看測試集的特徵矩陣第一行。

X_test[0]
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array([ 1.75486502, -0.57369368, -0.55204276, -1.09168714, -0.36890377,
        1.04473698,  0.8793029 , -0.92159124,  0.64259497,  0.9687384 ,
        1.61085707])
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咱們就用它來預測一下分類結果。

y_pred = model.predict(X_test)
複製代碼

打印出來看看：

y_pred[0]
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array([ 0.70956731,  0.29043278], dtype=float32)
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模型判斷該客戶不流失的可能性爲0.70956731。

咱們看看實際標籤數據：

y_test[0]
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array([ 1.,  0.])
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客戶果真沒有流失。這個預測是對的。

可是一個數據的預測正確與否，是沒法說明問題的。咱們下面跑整個測試集，而且使用evaluate函數評價模型。

score = model.evaluate(X_test, y_test)
print('Test accuarcy: %0.4f%%' % (score[0] * 100))
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Test accuarcy: 84.1500%
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在測試集上，準確性達到84.15%，好樣的！

但願在你的努力下，機器作出的準確判斷能夠幫助銀行有效鎖定可能流失的客戶，下降客戶的流失率，繼續日進斗金。

說明

你可能以爲，深度學習也沒有什麼厲害的嘛。原先的決策樹算法，那麼簡單就能實現，也能夠達到80%以上的準確度。寫了這麼多語句，深度學習結果也無非只提高了幾個百分點而已。

首先，準確度達到某種高度後，提高是不容易的。這就好像學生考試，從不及格到及格，付出的努力並不須要很高；從95分提高到100，倒是許多人一生也沒有完成的目標。

其次，在某些領域裏，1%的提高意味着以百萬美圓計的利潤，或者幾千我的的生命所以獲得拯救。

第三，深度學習的崛起，是由於大數據的環境。在許多狀況下，數據越多，深度學習的優點就越明顯。本例中只有10000條記錄，與「大數據」的規模還相去甚遠。

學習資源

若是你對深度學習感興趣，推薦如下學習資源。

首先是教材。

第一本是Deep Learning，絕對的經典。

第二本是Hands-On Machine Learning with Scikit-Learn and TensorFlow: Concepts, Tools, and Techniques to Build Intelligent Systems，深刻淺出，通俗易懂。

其次是MOOC。

推薦吳恩達(Andrew Ng)教授在Coursera上的兩門課程。

一門是機器學習。這課推出有年頭了，可是很是有趣和實用。具體的介紹請參考拙做《機器學習哪裏有這麼玄？》以及《如何用MOOC組合掌握機器學習？》。

一門是深度學習。這是個系列課程，包括5門子課程。今年推出的新課，自成體系，可是最好有前面那門課程做爲基礎。

討論

你對深度學習感興趣嗎？以前有沒有作過深度學習項目？你掌握了哪些深度學習框架？有沒有什麼建議給初學者？歡迎留言，把心得分享給你們，咱們一塊兒交流討論。

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若是你對數據科學感興趣，不妨閱讀個人系列教程索引貼《如何高效入門數據科學？》，裏面還有更多的有趣問題及解法。