算法淺談——字符串相關

我的水平所限，只能談及幾年前的OI省選水平的算法。再高深的，便不清楚了。

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主要參考文獻：

1. hzwer，《OI省選算法彙總》。
2. _Rayx，《多種字符串匹配算法雜談》。
3. airfer，《字符串匹配算法比較》。
4. 羅穗騫，《後綴數組——處理字符串的有力工具》。
5. xiazdong，《Dijkstra、Bellman_Ford、SPFA、Floyd算法複雜度比較》。
6. Create Chen，《理解A*尋路算法具體過程》。
7. lufy，《A*尋路算法與它的速度》。
8. Amit，蔡鴻譯，《Amit's A star Page中譯文》。

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OI算法，大抵可分爲如下幾類：

1. 數據結構
2. 字符串相關
3. 圖論相關
4. 數學相關
5. 動態規劃
6. 計算幾何
7. 不保證正確性的算法
8. 其餘重要工具與方法

下面依次談一談。

這個算法是怎麼來的，是爲了解決什麼問題而來，之前的算法爲何沒有解決，而如今的算法卻能解決；如今這個算法還有些什麼缺點；能作一些什麼問題，不能作些什麼問題。—— Ronghua Li

字符串相關

單模式串匹配

• KMP：在主串S（長度N）中匹配一個模式串P（長度M），預處理時間 O(M) ，匹配時間 O(N+M) 。

• KMP及相關算法時間複雜度比較：

  其中，M爲模式串長度，N爲主串長度。
  實測時，string長度10000，每一個函數都被調用了1000次。

算法	預處理時間	匹配時間	實測時間
BF	O(0)	O(NM)	0.078
KMP	O(M)	O(N)	0.094
BM	O(N+M2)	O(N)	0.047
Sunday	O(M)	O(NM)	0.172
Robin-Karp	O(0)	O(NM)	0.328
Bitap	O(M)	O(NM)→O(N)	0.281

字典樹（Trie）

Trie是一種n叉樹，n爲字母表大小，每一個節點表示從根節點到此節點所通過的全部字符組成的字符串。

多模式串匹配

• AC自動機：在主串S（長度N）中匹配多個模式串P（長度M），預處理時間 O(N+∑Mi) ，匹配時間 O(N+∑Mi) 。

AC自動機就是KMP思想。但用KMP作多模式串匹配的時間複雜度是 O(∑N+Mi) 。顯然，提升的複雜度是 O(N(K−1)) ，其中K表示模式串的個數。而當模式串數量大、模式串較短、主串較長時，算法幾乎是從 O(N2) 降到了 O(N) 。

還有一種多模式的匹配算法叫作AC自動機。它能一次匹配多個模式串。它與KMP的思路很像，不匹配時找一個最長的再繼續進行！它須要先把字符串建成一顆Trie樹，樹結點有一個叫作failed的指針，是表示若是不匹配時應該再從哪一個結點進行匹配。由於這種作法是一種DFA上的匹配，而發明這種算法的人叫A.C.，因此就叫AC自動機了。複雜度很好，比每一個模式串用一次KMP算法要好不少。

後綴樹、後綴數組

• 這倆是很是有用的字符串處理工具，尤爲是後綴數組，不少複雜字符串問題均可以用它來快速完美解決。
• 構造：倍增算法 O(logN) ，DC3算法 O(N) ，但前者常數小一些，且實現較容易。
• 內容： 
  • 後綴數組，SA[1~N]，表示「排第幾的是誰？」。也就是將S的N個後綴升序排序，把排好序的後綴的開頭位置順次放入SA中。顯然，其知足：
    Suffix(SA[i])<Suffix(SA[i+1])
    
  • 名次數組，Rank[1~N]，表示「你排第幾？」。也就是 Suffix(i) 在全部後綴中升序排序的名次。
• 用途：
  • 最長公共前綴
  • 單個字符串的相關問題
    • 重複子串
      • 可重疊最長重複子串
      • 不可重疊最長重複子串 (pku1743)
      • 可重疊的最長重複子串 (pku3261)
    • 子串的個數
      • 不相同的子串的個數 (spoj694, spoj705)
    • 迴文子串
      • 最長迴文子串 (ural1297)
    • 連續重複子串
      • 連續重複子串 (pku2406)
      • 重複次數最多的連續重複子串 (spoj687, pku3693)
  • 兩個字符串的相關問題
    • 公共子串
      • 最長公共子串 (pku2774, ural1517)
    • 子串的個數
      • 長度不小於k的公共子串的個數 (pku3415)
  • 多個字符串的相關問題
    • 不小於k個字符串中的最長子串 (pku3294)
    • 每一個字符串至少出現兩次且不重疊的最長子串 (spoj220)
    • 出現或反轉後出如今每一個字符串中的最長子串(pku3294)

還有一種叫作後綴數組和後綴樹的，後綴樹是能夠轉發爲後綴數組的，這兩種構造起來很不簡單，可是複雜度倒是驚人的好。如求最長重複連續子串，出現次數最多的子串等都能用它完美的解決。有興趣的能夠搜搜，後綴數組的資料應該是比較多的，然後綴樹因爲太複雜，資料不是不少，仍是有的。

關於後綴數組構造的倍增算法，有一個特別好玩的小故事，你們能夠去看看～

《後綴樹,後綴數組,離散化》，去看73到81頁，可愛的小白兔們^_^

模糊匹配

上面介紹的都是精確匹配的算法，其實對於字符串，還有一種模糊匹配，有興趣的讀者能夠閱讀一本叫作《柔性字符串匹配》的書，確定會讓你獲益匪淺。

其餘

• 後綴自動機
• Manacher