劍指offer--剪繩子，動態規劃

今日學了思路，待補充

題目：

將長度爲n的繩子剪成若干段，並求各段長度乘積的最大值。

思路：

 一、動態規劃
    設f(n)表明長度爲n的繩子剪成若干段的最大乘積，若是第一刀下去，第一段長度是i，那麼剩下的就須要剪n-i，那麼f(n)=max{f(i)f(n-i)}。而f(n)的最優解對應着f(i)和f(n-i)的最優解，假如f(i)不是最優解，那麼其最優解和f(n-i)乘積確定大於f(n)的最優解，和f(n)達到最優解矛盾，因此f(n)的最優解對應着f(i)和f(n-i)的最優解。首先，剪繩子是最優解問題，其次，大問題包含小問題，而且大問題的最優解包含着小問題的最優解，因此可使用動態規劃求解問題，而且從小到大求解，把小問題的最優解記錄在數組中，求大問題最優解時就能夠直接獲取，避免重複計算。
    n<2時，因爲每次至少減一次，因此返回0。n=2時，只能剪成兩個1，那麼返回1。n=3時，能夠剪成3個1，或者1和2，那麼最大乘積是2。當n>3時，就可使用公式進行求解。
    f(4)=max{f(1)f(3), f(2)f(2)}
    f(5)=max{f(1)f(4), f(2)f(3)}
    ...
    f(n)=max{f(1)f(n-1), f(2)f(n-2), f(3)f(n-3), ..., f(i)(fn-i), ...}
    由於須要保證f(i)f(n-i)不重複，就須要保證i<=n/2，這是一個限制條件，求1～n/2範圍內的乘積，獲得最大值
 二、貪心算法
    n<2時，返回0；n=2時，返回1；n=3時，返回2
    根據數學計算，當n>=5時，2(n-2)>n，3(n-3)>n，這就是說，將繩子剪成2和(n-2)或者剪成3和(n-3)時，乘積大於不剪的乘積，所以須要把繩子剪成2或者3。而且3(n-3)>=2(n-2)，也就是說，當n>=5時，應該剪儘可能多的3，可使最後的乘積最大。對於長度是n的繩子，咱們能夠剪出n/3個3，剩餘長度是1或者2，若是餘數是1，就能夠把1和最後一個3合併成4，那麼4剪出兩個2獲得的乘積是4，比1*3大，所以這種狀況下，須要將3的個數減小1，變成兩個2；若是餘數是2，那麼無需作修改。
    能夠獲得最大的乘積是：3^timesOf3 * 2^timesOf2
    相比動態規劃，計算更簡便，可是須要必定的數學技巧。
原文：https://blog.csdn.net/upupday19/article/details/79315885

動態規劃+貪婪

https://blog.csdn.net/upupday19/article/details/79315885

 1 public class Cut_string {
 2     public static void main(String[] args) {
 3         System.out.println(maxAfterCutting(8));
 4         }
 5     //須要O(n^2)的時間複雜度和O(n)的空間複雜度的動態規劃思路
 6     public static int maxAfterCutting(int length) {
 7         if(length<2)
 8             return 0;
 9         if(length==2)
10             return 1;
11         if(length==3)
12             return 2;
13         //子問題的最優解存儲在F數組中，數組中第i個元素表示將長度爲i的繩子剪成若干段
14         int [] f = new int[length+1];
15         f[0]=0;
16         f[1]=1;
17         f[2]=2;
18         f[3]=3;
19         int result = 0;
20         for(int i = 4;i<=length;++i) {
21             int max = 0;
22             for(int j = 1;j<=i/2;++j) {
23                 int num = f[j]*f[i-j];
24                 if(max<num)
25                     max=num;
26                 f[i] = max;
27             }
28         }
29         result = f[length];
30         return result;    
31     }
32 }

 有待繼續學習。