「 遞歸函數就是函數內部調用自身，可使代碼邏輯更加易懂。可是遞歸也有坑，須要避免。」
python
13.1 概念
在函數內部，能夠調用其餘函數。若是一個函數在內部調用自身，這個函數就是遞歸函數。bash
理論上，全部的遞歸函數均可以寫成循環的方式，但循環的邏輯不如遞歸清晰。微信
計算階乘n! = 1 x 2 x 3 x ... x n，用函數fact(n)表示：編輯器
def fact(n): if n==1: return 1 return n * fact(n - 1)
13.2 寫遞歸代碼的套路
寫遞歸代碼的關鍵就是找到如何將大問題分解爲小問題的規律，而後按照下面套路便可實現：ide
第一步，寫出遞推公式函數
以計算階乘爲例，遞歸公式是：fact(n)=n!=n×(n−1)×⋅⋅⋅3×2×1=n×(n−1)!=n×fact(n−1)工具
第二步，推敲終止條件測試
以計算階乘爲例，終止條件是n=1時，fact(1)=1。ui
13.2.1 斐波那契數列
再來看一個斐波那契數列的例子，斐波那契數列中後一個元素是前兩個相鄰元素的和。好比：spa
0，1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…。
那麼咱們如何獲得第n個數是多少？分兩步走：
第一步，寫出遞推公式。求第n個元素，能夠先求出n-1和n-2個元素的值，而後再將這兩個求和，因此公式是：
fibonacci(n) = fibonacci(n - 1) + fibonacci(n - 2)
第二步，推敲最終終止條件。終止條件包含三個：n=0時，f(n)=0；n=1時，f(n)=1；n=2時，f(n)=1。
if n < 1: # 遞歸終止條件 return 0if n in [1, 2]: # 遞歸終止條件 return 1
轉換成完整代碼就是：
def fibonacci(n): if n < 1: # 遞歸終止條件 return 0 if n in [1, 2]: # 遞歸終止條件 return 1 return fibonacci(n - 1) + fibonacci(n - 2) # 遞歸公式
不論是編寫遞歸仍是閱讀遞歸代碼，只要遇到遞歸，咱們就把它抽象成一個遞推公式，不用想一層層的調用關係，不要試圖用人腦搞清楚計算機每一步都是怎麼執行的。
13.2.2 n 個臺階有多少種走法
再來看看一個例子，假若有 n 個臺階，每次能夠跨 1 個臺階或者 2 個臺階，請問走這 n 個臺階有多少種走法？
咱們從第一步開始想，若是第一步跨1個臺階，問題就變成了n-1個臺架有多少種走法。若是第一步跨2個臺階，問題就變成n-2個臺階有多少種走法。咱們把n-1個臺階的走法和n-2個臺階的走法求和，就是n個臺階的走法。用公式表示就是f(n)=f(n-1)+f(n-2)。這就是遞歸公式了。
再來看看終止條件，最後1個臺階就不須要再繼續遞歸了，只有一種走法，就是f(1)=1。咱們把這個放到遞歸公式裏面看下，經過這個終止條件可否求出f(2)，發現f(2)=f(1)+f(0)，也就是僅知道f(1)是不能求出f(2)的，所以要麼知道f(0)的值，或者直接將f(2)做爲一個遞歸終止條件。f(0)表示0個臺階有幾種走法，f(2)表示2個臺階有幾種走法。明顯，f(2)更容易理解一些。因此定爲f(2)=2也是一個終止條件，表示最後2個臺階有兩種走法，即一次跨1個臺階和一次跨2個臺階。有了f(1)和f(2)，就能求出f(3)，進而求出f(n)了。
轉化成代碼便是：
def walk(n): if n == 1: # 遞歸終止條件 return 1 if n == 2: # 遞歸終止條件 return 2 return walk(n - 1) + walk(n - 2) # 遞歸公式
13.3 遞歸可解決哪類問題
原始問題的解能夠分解爲幾個子問題的解
原始問題和子問題，只有數據規模的不一樣，求解思路徹底同樣
存在遞歸終止條件
13.4 遞歸存在的問題
堆棧溢出
重複計算
編寫遞歸代碼時，咱們會遇到不少問題，比較常見的一個就是堆棧溢出，而堆棧溢出會形成系統性崩潰，後果會很是嚴重。什麼是堆棧溢出呢？
函數調用會使用棧來保存臨時變量。每調用一個函數，都會將臨時變量封裝爲棧幀壓入內存棧，等函數執行完成返回時，再出棧。系統棧或者虛擬機棧空間通常都不大。若是遞歸求解的數據規模很大，調用層次很深，一直壓入棧，就會有堆棧溢出的風險。
能夠經過Pycharm工具查看調用棧的狀況。在遞歸公式那行代碼上添加斷點，不斷執行Step Over，能夠看到Frames窗口中的棧信息會不斷增長和減小，當調用一次函數會增長一幀，當調用返回後會減小一幀。最後返回第一層棧func.py。前面說的堆棧溢出的風險，體如今Frames窗口中的棧幀太多了。
那麼，如何避免出現堆棧溢出呢？
一般能夠在代碼中限制遞歸調用的最大深度的方式來解決這個問題。好比Python語言，限制了遞歸深度，當遞歸深度太高，則會拋出：RecursionError: maximum recursion depth exceeded in comparison異常，防止系統性崩潰。
咱們在代碼中也能夠本身設置遞歸的深度，好比限制n最大不能超過100，代碼以下：
def walk(n): if n == 1: return 1 if n == 2: return 2 if n > 100: raise RecursionError("recursion depth exceede 100") return walk(n - 1) + walk(n - 2)
除此以外，使用遞歸時還會出現重複計算的問題。什麼意思？拿走臺階那個例子來講明。好比計算6個臺階的走法f(6)，過程以下圖：
從圖中，咱們能夠直觀地看到，想要計算 f(5)，須要先計算 f(4) 和 f(3)，而計算 f(4) 還須要計算 f(3)，所以，f(3) 就被計算了不少次，這就是重複計算問題。
那麼怎麼解決這個問題？爲了不重複計算，咱們能夠經過字典保存已經求解過的 f(k)。當遞歸調用到 f(k) 時，先看下是否已經求解過了。若是是，則直接從字典中取值，不須要重複計算，這樣就能避免剛講的問題了。
修改下計算臺階走法的代碼，解決重複計算的問題：
data = dict() # 保存中間結果
def walk(n): if n == 1: return 1 if n == 2: return 2 if n > 100: raise RecursionError("recursion depth exceed 100") if n in data: # 若是在中間結果中，則直接返回，不用進入遞推公式再次計算 return data[n] result = walk(n - 1) + walk(n - 2) # 在遞歸公式前面增長個查找步驟 data[n] = result # 將計算結果保存在中間結果data字典中 return result
print(walk(6))
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