和最大的連續子數組 Maximum Subarray

問題：

Find the contiguous subarray within an array (containing at least one number) which has the largest sum.

For example, given the array [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4],
the contiguous subarray [4,-1,2,1] has the largest sum = 6.

More practice:

If you have figured out the O(n) solution, try coding another solution using the divide and conquer approach, which is more subtle.

解決：

①使用時間複雜度爲O（n）的方法解決（耗時16ms）,屬於一種DP問題：

最大連續子串問題，對於一個元素數爲n的數組，其含有2^n個子序列和n(n+1)/2個子串。若是使用窮舉法，則至少須要O(n^2)的時間才能獲得答案。所以採用Jay Kadane 提出的線性時間的最優解法：

• 遍歷該數組， 在遍歷過程當中， 將遍歷到的元素依次累加起來， 當累加結果小於或等於0時， 從下一個元素開始，從新開始累加。
• 累加過程當中， 要用一個變量(max)記錄所得到過的最大值
• 一次遍歷以後， 變量 max中存儲的即爲最大子片斷的和值。

【注意】

• 最大子片斷中不可能包含求和值爲負的前綴。 例如 【-2， 1，4】 必然不能是最大子數列， 由於去掉值爲負的前綴後【-2，1】， 能夠獲得一個更大的子數列 【4】、
• 因此在遍歷過程當中，每當累加結果成爲一個非正值時， 就應當將下一個元素做爲潛在最大子數列的起始元素， 從新開始累加。
• 因爲在累加過程當中， 出現過的最大值都會被記錄， 且每個可能成爲 最大子數列起始元素 的位置， 都會致使新一輪的累加， 這樣就保證了答案搜索過程的完備性和正確性。
• 子串是指數組中連續的若干個元素，而子序列只要求各元素的順序與其在數組中一致，而沒有連續的要求。

 public class Solution {
    public int maxSubArray(int[] nums) {
        int sum = 0;
        int max = Integer.MIN_VALUE;//若令max的值爲0，會致使數組元素全部的和都爲0的時候返回錯誤
        for (int i = 0;i < nums.length ;i ++ ) {
            sum += nums[i];
            if(max < sum){
                max = sum;
            }
            if (sum <= 0) {             
                sum = 0;
            }            
        }
        return max;
    }
}

public class Solution {
    public int maxSubArray(int[] nums) {
        int sum = nums[0];
        int max = nums[0];
        for(int i = 1; i < nums.length; i++) {
            sum = nums[i] + Math.max(sum, 0);
            max = Math.max(sum, max);
        }
        return max;
    }
} //13ms

②另外題目要求也能夠採用分治法（遞歸）Divide and Conquer Approach解決該問題，時間複雜度爲O(nlgn)。分治法的思想就相似於二分搜索法，咱們須要把數組一分爲二，分別找出左邊和右邊的最大子數組之和，而後還要從中間開始向左右分別掃描，求出的最大值分別和左右兩邊得出的最大值相比較取最大的那一個。耗時23ms，性能不是很好。

public class Solution {     public int maxSubArray(int[] nums) {         if (nums.length == 0) {             return 0;         }         return divide(nums,0,nums.length - 1);     }     public int divide(int[] nums,int left,int right){         if (left >= right) {//若未寫=會提示數組下標越界             return nums[left];         }         int mid = (right - left) / 2 + left;         int lmax = divide(nums,left,mid - 1);         int rmax = divide(nums,mid + 1,right);         int mmax = nums[mid];//初始值爲中間值         int sum = mmax;         for (int i = mid - 1;i >= left ;i -- ) {//掃描左半部分             sum += nums[i];             mmax = Math.max(mmax,sum);         }         sum = mmax;         for (int i = mid + 1;i <= right ;i ++ ) {//掃描右半部份             sum += nums[i];             mmax = Math.max(mmax,sum);         }         return Math.max(mmax,Math.max(lmax,rmax));     } }