LeetCode 題解之 53. Maximum Subarray（連續子數組的最大和問題）

給定一個整數數組 nums ，找到一個具備最大和的連續子數組（子數組最少包含一個元素），返回其最大和。

示例:

輸入: [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4],
輸出: 6
解釋: 連續子數組 [4,-1,2,1] 的和最大，爲 6。
進階:若是你已經實現複雜度爲 O(n) 的解法，嘗試使用更爲精妙的分治法求解。
求解關鍵：連續子數組的問題，通常咱們着眼於以當前遍歷到的元素結尾的那個子數組，這樣作分析會簡化問題。

 

參考解答
參考解答1

public class Solution {
    /**
     * 定義狀態：
     * dp[i] ： 表示以 nums[i] 結尾的連續子數組的最大和
     * 狀態轉移方程：
     * dp[i] = max{nums[i],dp[i-1] + nums[i]}
     */
    public int maxSubArray(int[] nums) {
        int len = nums.length;
        if (len == 0) {
            return 0;
        }
        int[] dp = new int[len];
        dp[0] = nums[0];
        for (int i = 1; i < len; i++) {
            dp[i] = Math.max(nums[i], dp[i - 1] + nums[i]);
        }
        // 最後這一步，是求一個全局的最優值
        int res = dp[0];
        for (int i = 1; i < len; i++) {
            res = Math.max(res,dp[i]);
        }
        return res;
    }
}

參考解答2 ：和參考解答 1 是同樣的，只不過在遍歷的過程當中，就把最優解解求出來了。

public class Solution2 {
    /**
     * 和 Solution 同樣，空間複雜度更小
     * 時間複雜度：O(n)
     * 空間複雜度：O(1)
     */
    public int maxSubArray(int[] nums) {
        int len = nums.length;
        if (len == 0) {
            return 0;
        }
        int segmentSum = nums[0];
        int res = nums[0];
        for (int i = 1; i < len; i++) {
            segmentSum = Math.max(nums[i], segmentSum + nums[i]);
            res = Math.max(res, segmentSum);
        }
        return res;
    }

    public static void main(String[] args) {
        int[] nums = {-2, 1, -3, 4, -1, 2, 1, -5, 4};
        Solution2 solution = new Solution2();
        int maxSubArray = solution.maxSubArray(nums);
        System.out.println(maxSubArray);
    }
}

參考解答3：分治，稍顯繁瑣，能夠經過這個問題了解分治思想。

public class Solution3 {
    public int maxSubArray(int[] nums) {
        int len = nums.length;
        if (len == 0) {
            return 0;
        }
        return maxSubArraySum(nums, 0, len - 1);
    } 

    private int maxSubArraySum(int[] nums, int l, int r) {
        if (l == r) {
            return nums[l];
        }
        int mid = l + (r - l) / 2;
        return max3(maxSubArraySum(nums, l, mid),
                maxSubArraySum(nums, mid + 1, r),
                maxCrossingSum(nums, l, mid, r));
    }

    private int max3(int num1, int num2, int num3) {
        return Math.max(num1, Math.max(num2, num3));
    }

    /**
     * 必定會包含 nums[mid] 這個元素
     */
    private int maxCrossingSum(int[] nums, int l, int m, int r) {
        int sum = 0;
        int leftSum = Integer.MIN_VALUE;
        // 左半邊包含 nums[mid] 元素，最多能夠到什麼地方
        // 走到最邊界，看看最值是什麼
        // 計算以 mid 結尾的最大的子數組的和
        for (int i = m; i >= l; i--) {
            sum += nums[i];
            if (sum > leftSum) {
                leftSum = sum;
            }
        }
        sum = 0;
        int rightSum = Integer.MIN_VALUE;
        // 右半邊不包含 nums[mid] 元素，最多能夠到什麼地方
        // 計算以 mid+1 開始的最大的子數組的和
        for (int i = m + 1; i <= r; i++) {
            sum += nums[i];
            if (sum > rightSum) {
                rightSum = sum;
            }
        }
        return leftSum + rightSum;

    }
}